Fundamentals of Tensor Calculus for Engineers with a Primer on Smooth Manifolds

این کتاب مبانی حساب تانسوری مدرن را برای دانشجویان مهندسی و فیزیک کاربردی ارائه می‌کند و بر جنبه‌هایی تأکید می‌کند که برای به‌کارگیری ایمن حساب تانسور در فضای اقلیدسی و برای درک ماهیت مفهوم منیفولد صاف بسیار مهم هستند.< /p>

پس از معرفی موضوع، توضیح مختصری در مورد توپولوژی مجموعه نقطه ای ارائه می کند تا خوانندگان را با موضوع آشنا کند، به خصوص با موضوعات مورد نیاز در فصل های بعدی.

سپس ابعاد واقعی را توصیف می کند. فضای برداری و دوگانه آن، با تمرکز بر سودمندی دومی برای رمزگذاری مفاهیم دوگانگی در فیزیک. علاوه بر این، تانسورها را به عنوان اشیایی معرفی می‌کند که نگاشت‌های خطی را رمزگذاری می‌کنند و فضاهای وابسته و اقلیدسی را مورد بحث قرار می‌دهند. تحلیل تانسور ابتدا در فضای اقلیدسی مورد بررسی قرار می گیرد و از تعمیم مفهوم تمایزپذیری شروع می شود و به سمت مفاهیمی مانند مشتق جهتی، مشتق کوواریانت و ادغام بر اساس اشکال دیفرانسیل پیش می رود.

فصل آخر به نقش منیفولدهای صاف در مدل‌سازی فضاهای غیر از فضای اقلیدسی می‌پردازد، به ویژه مفاهیم اطلس صاف و فضای مماس، که برای درک موضوع بسیار مهم هستند. دو تا از مهمترین مفاهیم، ​​یعنی دسته مماس و مشتق دروغ، متعاقباً مورد بررسی قرار می‌گیرند.

This book presents the fundamentals of modern tensor calculus for students in engineering and applied physics, emphasizing those aspects that are crucial for applying tensor calculus safely in Euclidian space and for grasping the very essence of the smooth manifold concept.

After introducing the subject, it provides a brief exposition on point set topology to familiarize readers with the subject, especially with those topics required in later chapters.

It then describes the finite dimensional real vector space and its dual, focusing on the usefulness of the latter for encoding duality concepts in physics. Moreover, it introduces tensors as objects that encode linear mappings and discusses affine and Euclidean spaces. Tensor analysis is explored first in Euclidean space, starting from a generalization of the concept of differentiability and proceeding towards concepts such as directional derivative, covariant derivative and integration based on differential forms.

The final chapter addresses the role of smooth manifolds in modeling spaces other than Euclidean space, particularly the concepts of smooth atlas and tangent space, which are crucial to understanding the topic. Two of the most important concepts, namely the tangent bundle and the Lie derivative, are subsequently worked out.