Fractals and universal spaces in dimension theory

برای فضاهای متریک، جست‌وجوی فضاهای جهانی در نظریه ابعاد تقریباً یک قرن تحقیق ریاضی را در بر می‌گرفت. تاریخ به طور طبیعی به دو دوره تقسیم می شود - کلاسیک (متریک قابل تفکیک) و مدرن (لزوماً متریک قابل تفکیک). در حالی که نظریه کلاسیک اکنون به خوبی در چندین کتاب مستند شده است، این اولین کتابی است که نظریه مدرن را متحد می کند (1960-2007). مانند نظریه کلاسیک، نظریه مدرن اساساً بازه واحد را در بر می گیرد.

در دهه 1970، نویسنده این تکنگ ساختار 1883 کانتور را تعمیم داد (نقاط انتهایی مجاور را در مجموعه کانتور مشخص کنید) از بازه واحد، به دست آوردن - برای هر وزن معین - یک فضای متریک یک بعدی که حاوی معقولات و غیرمنطقی ها به عنوان همتای آنها در بازه واحد است.

به دنبال توسعه در طول دهه 1980، در هندسه فراکتال، این فضاهای جدید اولین نمونه های جذب کننده سیستم های عملکردی تکرار شونده نامحدود - "فرکتال های تعمیم یافته" بودند. استفاده از گرافیک برای به تصویر کشیدن نمای فراکتالی این فضاها از ویژگی های منحصر به فرد این تک نگاری است. علاوه بر این، این کتاب زمینه تاریخی را برای تحقیقات مرتبط فراهم می‌کند که شامل قضایای تعبیه‌شده، نظریه گراف، و تعبیه‌های بسته می‌شود.

این تک‌نگاره برای توپولوژیست‌ها، برای ریاضیدانانی که در فراکتال کار می‌کنند مفید خواهد بود. هندسه، و به مورخان ریاضیات. همچنین می‌تواند به‌عنوان متنی برای سمینارهای فارغ‌التحصیل یا خودآموزی باشد - خواننده علاقه‌مند بسیاری از مشکلات باز مرتبط را پیدا می‌کند که انگیزه تحقیقات بیشتر در مورد این موضوعات را فراهم می‌کند.

For metric spaces the quest for universal spaces in dimension theory spanned approximately a century of mathematical research. The history breaks naturally into two periods — the classical (separable metric) and the modern (not necessarily separable metric). While the classical theory is now well documented in several books, this is the first book to unify the modern theory (1960 – 2007). Like the classical theory, the modern theory fundamentally involves the unit interval.

By the 1970s, the author of this monograph generalized Cantor’s 1883 construction (identify adjacent-endpoints in Cantor’s set) of the unit interval, obtaining — for any given weight — a one-dimensional metric space that contains rationals and irrationals as counterparts to those in the unit interval.

Following the development of fractal geometry during the 1980s, these new spaces turned out to be the first examples of attractors of infinite iterated function systems — “generalized fractals.” The use of graphics to illustrate the fractal view of these spaces is a unique feature of this monograph. In addition, this book provides historical context for related research that includes imbedding theorems, graph theory, and closed imbeddings.

This monograph will be useful to topologists, to mathematicians working in fractal geometry, and to historians of mathematics. It can also serve as a text for graduate seminars or self-study — the interested reader will find many relevant open problems that will motivate further research into these topics.