Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in the plane

این کتاب جدیدترین پیشرفت‌ها در تئوری نگاشت‌های شبه هم‌شکل مسطح را با تمرکز ویژه بر تعاملات با معادلات دیفرانسیل جزئی و تحلیل غیرخطی بررسی می‌کند. این یک رویکرد کامل و مدرن به نظریه کلاسیک ارائه می‌کند و کاربردهای مهم و قانع‌کننده‌ای را در طیفی از ریاضیات ارائه می‌کند: سیستم‌های دینامیکی، عملگرهای انتگرال منفرد، مسائل معکوس، هندسه نگاشت‌ها و محاسبه تغییرات. همچنین گزارشی از پیشرفت‌های اخیر در تحلیل هارمونیک و کاربردهای آن‌ها در نظریه هندسی نگاشت‌ها ارائه می‌دهد.

این کتاب توضیح می‌دهد که وجود، نظم و ساختارهای مجموعه‌ای منفرد برای معادلات نوع واگرایی مرتبه دوم- -مهمترین کلاس PDEها در کاربردها-- توسط ریاضیات زیربنای هندسه، ساختار و بعد مجموعه های فراکتال تعیین می شوند. فضاهای مدول سطوح ریمان؛ و سیستم های دینامیکی منسجم این موضوعات به طور جدایی ناپذیری توسط نظریه نگاشتهای شبه هم شکل به هم مرتبط هستند. علاوه بر این، تعامل بین آنها به نویسندگان اجازه می دهد تا نتایج کلاسیک را به تنظیمات عمومی تر برای کاربرد وسیع تر گسترش دهند، و پاسخ های جدید و اغلب بهینه را به سؤالات وجود، نظم و ویژگی های هندسی راه حل های سیستم های غیر خطی در هر دو تنظیمات بیضی و منحط ارائه دهند.

This book explores the most recent developments in the theory of planar quasiconformal mappings with a particular focus on the interactions with partial differential equations and nonlinear analysis. It gives a thorough and modern approach to the classical theory and presents important and compelling applications across a spectrum of mathematics: dynamical systems, singular integral operators, inverse problems, the geometry of mappings, and the calculus of variations. It also gives an account of recent advances in harmonic analysis and their applications in the geometric theory of mappings.

The book explains that the existence, regularity, and singular set structures for second-order divergence-type equations--the most important class of PDEs in applications--are determined by the mathematics underpinning the geometry, structure, and dimension of fractal sets; moduli spaces of Riemann surfaces; and conformal dynamical systems. These topics are inextricably linked by the theory of quasiconformal mappings. Further, the interplay between them allows the authors to extend classical results to more general settings for wider applicability, providing new and often optimal answers to questions of existence, regularity, and geometric properties of solutions to nonlinear systems in both elliptic and degenerate elliptic settings.