Dynamical Systems: Stability, Controllability and Chaotic Behavior

در پایان قرن نوزدهم لیاپانوف و پوانکاره به اصطلاح نظریه کیفی معادلات دیفرانسیل را توسعه دادند و ملاحظات هندسی- توپولوژیکی را معرفی کردند که به مفهوم سیستم های دینامیکی منجر شد. این مفهوم در شکل انتزاعی فعلی خود به G.D. Birkhoff برمی گردد. این نیز نقطه شروع فصل 1 این کتاب است که در آن سیستم های زمان پیوسته و زمان گسسته کنترل نشده و کنترل شده بررسی شده است. سیستم‌های دینامیکی کنترل‌شده را می‌توان به‌عنوان سیستم‌های دینامیکی به معنای قوی در نظر گرفت، اگر کنترل‌ها در فضای حالت گنجانده شوند. با این حال، ما رفتار متعارف سیستم‌های کنترل‌شده را مانند تئوری کنترل تطبیق می‌دهیم. ما عمدتاً به مسئله کنترل پذیری سیستم های دینامیکی در حالت های تعادل علاقه مند هستیم. در مورد زمان گسسته غیرخودکار، مشکل تثبیت را نیز در نظر می گیریم. ما با رفتار آشفته سیستم‌های گسسته زمانی خودمختار و برنامه‌های واقعی دنیای واقعی نتیجه می‌گیریم.

At the end of the nineteenth century Lyapunov and Poincaré developed the so called qualitative theory of differential equations and introduced geometric-topological considerations which have led to the concept of dynamical systems. In its present abstract form this concept goes back to G.D. Birkhoff. This is also the starting point of Chapter 1 of this book in which uncontrolled and controlled time-continuous and time-discrete systems are investigated. Controlled dynamical systems could be considered as dynamical systems in the strong sense, if the controls were incorporated into the state space. We, however, adapt the conventional treatment of controlled systems as in control theory. We are mainly interested in the question of controllability of dynamical systems into equilibrium states. In the non-autonomous time-discrete case we also consider the problem of stabilization. We conclude with chaotic behavior of autonomous time discrete systems and actual real-world applications.