Die Gödel’schen Unvollständigkeitssätze: Eine geführte Reise durch Kurt Gödels historischen Beweis

در سال 1931 مقاله ای با عنوان اسرارآمیز درباره قضایای غیرقابل تصمیم گیری از Principia Mathematica و سیستم های مرتبط I در مجله ماهانه ریاضیات و فیزیک ظاهر شد. در این کار، کورت گودل دو قضیه ناقص بودن را ثابت کرد که اساساً نگاه ما به ریاضیات را تغییر داد. قضایای گودل نشان می دهد که شکاف غیر قابل عبوری بین مفهوم صدق و مفهوم اثبات پذیری وجود دارد که ما نمی توانیم آن را پر کنیم. ریاضیات با هیچ کرست رسمی مطابقت ندارد.

از زمان کشف آنها، قضایای ناقص بودن بر لبان همه بوده است و سیل کتاب ها به محتوای درخشان آنها اختصاص داده شده است. اما تقریباً هیچ اثری به کار گودل به شکل اصلی‌اش نمی‌پردازد - و دلایل خوبی برای این وجود دارد: زنجیره‌های پیچیده استدلال‌های آن، که با دقت بسیار زیادی توصیف شده‌اند، تعاریف و جملات فراوان و نشانه‌گذاری که امروزه تا حد زیادی منسوخ شده است، باعث می‌شود که گودل تاریخی شود. شاهکاری کار دشواری برای خواندن.

در این کتاب، اثبات گودل از سال 1931 به تفصیل بررسی شده است. تمام مراحل جداگانه با استفاده از مثال های متعدد به شیوه ای قابل درک توضیح داده شده و توضیح داده شده است. اما این کتاب بیش از یک نسخه مشروح از اثر تاریخی است. درک کامل اثبات قضایای ناقصی مستلزم درک داستان است، و بنابراین انحرافات متعدد خواننده را به ابتدای قرن بیستم منتقل می کند. این زمانی است که ریاضیات بزرگترین بحران تاریخ خود را تجربه کرد، نظریه نوع و نظریه مجموعه بدیهی شکل گرفت و منطق فرمالیستی هیلبرت و ریاضیات شهودی بروور با چشم‌اندازهای باز روبرو شدند.

Im Jahr 1931 erschien im Monatsheft für Mathematik und Physik ein Artikel mit dem geheimnisvoll klingenden Titel Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. In dieser Arbeit hat Kurt Gödel zwei Unvollständigkeitssätze bewiesen, die unseren Blick auf die Mathematik von Grund auf verändert haben. Gödels Sätze manifestieren, dass zwischen dem Begriff der Wahrheit und dem Begriff der Beweisbarkeit eine unüberwindbare Kluft besteht, die wir nicht überwinden können. Die Mathematik fügt sich in kein formales Korsett.

Seit ihrer Entdeckung sind die Unvollständigkeitssätze in aller Munde und eine Flut an Büchern widmet sich ihrem fulminanten Inhalt. Doch kaum ein Werk behandelt die Gödel‘sche Arbeit in ihrer ursprünglichen Form − und dies hat triftige Gründe: Seine komplexen, in akribischer Präzision beschriebenen Argumentationsketten, die vielen Definitionen und Sätze und die heute weitgehend überholte Notation machen Gödels historisches Meisterwerk zu einer schwer zu lesenden Arbeit.

In diesem Buch wird Gödels Beweis aus dem Jahr 1931 detailliert aufgearbeitet. Alle Einzelschritte werden erläutert und anhand zahlreicher Beispiele verständlich erklärt. Doch dieses Buch ist mehr als eine kommentierte Fassung der historischen Arbeit. Die Beweise der Unvollständigkeitssätze in vollem Umfang zu verstehen, bedingt, die Geschichte zu verstehen, und so versetzen zahlreiche Exkurse den Leser in die Zeit zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts zurück. Es ist die Zeit, in der die Mathematik die größte Krise ihrer Geschichte durchlebte, die Typentheorie und die axiomatische Mengenlehre Gestalt annahmen und sich Hilberts formalistische Logik und Brouwers intuitionistische Mathematik mit offenem Visier gegenüber standen.