Computational Synthetic Geometry

هندسه مصنوعی محاسباتی با روش هایی برای تحقق اجسام هندسی انتزاعی در فضاهای برداری بتنی سروکار دارد. این تک نگاری تحقیقاتی دسته بزرگی از مسائل مربوط به تحدب و هندسه گسسته را شامل ساختن چند توپ محدب از کمپلکس‌های ساده، هندسه‌های برداری از ساختارهای فرود و آرایش ابرصفحه‌ای از ماتروئیدهای جهت‌دار در نظر می‌گیرد. معلوم می‌شود که الگوریتم‌هایی برای این ساختارها وجود دارند اگر و تنها در صورتی که معادلات چند جمله‌ای دلخواه با توجه به میدان اصلی قابل تصمیم‌گیری باشند. علاوه بر چنین قضایای پیچیدگی، انواع الگوریتم‌های نمادین مورد بحث قرار می‌گیرند، و روش‌ها برای به دست آوردن نتایج ریاضی جدید روی چند توپ‌های محدب، پیکربندی‌های تصویری و ترکیب‌بندی انواع گراسمن به کار می‌روند. در نهایت انواع جبری مشخص کننده ماتروئیدها و ماتروئیدهای جهت دار معرفی می شوند که مبنای جدیدی برای بکارگیری روش های جبر رایانه ای در این زمینه فراهم می کند. دانش پیشینه لازم به طور خلاصه بررسی می شود. این متن برای دانش‌آموزان دارای پیش‌زمینه‌ی تحصیلات تکمیلی در ریاضیات قابل دسترسی است و به هندسه‌سنجان حرفه‌ای و دانشمندان رایانه به‌عنوان مقدمه و انگیزه‌ای برای تحقیقات بیشتر خدمت خواهد کرد.

Computational synthetic geometry deals with methods for realizing abstract geometric objects in concrete vector spaces. This research monograph considers a large class of problems from convexity and discrete geometry including constructing convex polytopes from simplicial complexes, vector geometries from incidence structures and hyperplane arrangements from oriented matroids. It turns out that algorithms for these constructions exist if and only if arbitrary polynomial equations are decidable with respect to the underlying field. Besides such complexity theorems a variety of symbolic algorithms are discussed, and the methods are applied to obtain new mathematical results on convex polytopes, projective configurations and the combinatorics of Grassmann varieties. Finally algebraic varieties characterizing matroids and oriented matroids are introduced providing a new basis for applying computer algebra methods in this field. The necessary background knowledge is reviewed briefly. The text is accessible to students with graduate level background in mathematics, and will serve professional geometers and computer scientists as an introduction and motivation for further research.