Complex Analysis

با این جلد دوم، وارد دنیای جذاب تحلیل پیچیده می شویم. از قضایای اول به بعد، ظرافت و فراگیری نتایج مشهود است. نقطه شروع ایده ساده بسط تابعی است که در ابتدا برای مقادیر واقعی آرگومان داده شده است به تابعی که زمانی که آرگومان پیچیده است تعریف می شود. از آنجا، شخص به ویژگی‌های اصلی توابع هولومورفیک می‌پردازد، که اثبات‌های آن عموماً کوتاه و کاملاً روشن‌کننده هستند: قضایای کوشی، باقی‌مانده‌ها، ادامه تحلیلی، اصل استدلال.

با این پیش‌زمینه، خواننده آماده است تا تعداد زیادی از مطالب اضافی را بیاموزد که موضوع را با سایر حوزه‌های ریاضیات مرتبط می‌کند: تبدیل فوریه که با یکپارچه‌سازی کانتور، تابع زتا و قضیه اعداد اول، و مقدمه‌ای بر توابع بیضوی درمان می‌شود. در کاربرد آنها در ترکیبات و نظریه اعداد به اوج خود رسید.

سخنرانی‌های پرینستون در تحلیل نشان‌دهنده تلاشی مستمر برای معرفی حوزه‌های اصلی تحلیل ریاضی است و در عین حال وحدت ارگانیک بین آنها را نیز نشان می‌دهد. مثال‌ها و کاربردهای متعدد در چهار جلد برنامه‌ریزی شده آن، که تحلیل پیچیده دومین جلد آن است، پیامدهای گسترده ایده‌های خاص در تجزیه و تحلیل را در زمینه‌های دیگر ریاضیات و علوم مختلف نشان می‌دهد. استاین و شاکارچی از مقدمه ای که به سری های فوریه و انتگرال ها می پردازد به ملاحظات عمیق تحلیل پیچیده حرکت می کنند. نظریه اندازه گیری و ادغام و فضاهای هیلبرت. و در نهایت موضوعات دیگری مانند تحلیل تابعی، توزیع ها و عناصر نظریه احتمال.

With this second volume, we enter the intriguing world of complex analysis. From the first theorems on, the elegance and sweep of the results is evident. The starting point is the simple idea of extending a function initially given for real values of the argument to one that is defined when the argument is complex. From there, one proceeds to the main properties of holomorphic functions, whose proofs are generally short and quite illuminating: the Cauchy theorems, residues, analytic continuation, the argument principle.

With this background, the reader is ready to learn a wealth of additional material connecting the subject with other areas of mathematics: the Fourier transform treated by contour integration, the zeta function and the prime number theorem, and an introduction to elliptic functions culminating in their application to combinatorics and number theory.

Thoroughly developing a subject with many ramifications, while striking a careful balance between conceptual insights and the technical underpinnings of rigorous analysis, Complex Analysis will be welcomed by students of mathematics, physics, engineering and other sciences.

The Princeton Lectures in Analysis represents a sustained effort to introduce the core areas of mathematical analysis while also illustrating the organic unity between them. Numerous examples and applications throughout its four planned volumes, of which Complex Analysis is the second, highlight the far-reaching consequences of certain ideas in analysis to other fields of mathematics and a variety of sciences. Stein and Shakarchi move from an introduction addressing Fourier series and integrals to in-depth considerations of complex analysis; measure and integration theory, and Hilbert spaces; and, finally, further topics such as functional analysis, distributions and elements of probability theory.