Commutation Properties of Hilbert Space Operators and Related Topics

آنچه را می‌توان به عنوان آغاز نظریه کموتاتورهای AB - BA از عملگرهای A و B در فضای هیلبرت دانست که به خودی خود یک رشته در نظر گرفته می‌شود، حداقل به دو مقاله ویل برمی‌گردد [3] { 1928} و فون نویمان [2] {1931} در مورد مکانیک کوانتومی و روابط جابه‌جایی که در آنجا اتفاق می‌افتد. در اینجا A و B عملگرهای خود الحاقی نامحدودی بودند که رابطه AB - BA = iI را به نوعی مناسب برآورده می‌کردند، و مشکل این بود که منحصربه‌فرد بودن جفت A و B را تعیین می‌کرد. مطالعه جابجایی‌های عملگرهای محدود روی فضای هیلبرت منشأ جدیدتری دارد که احتمالاً می توان آن را به عنوان مقاله وینتنر [6] {1947} مشخص کرد. بررسی چند موضوع مرتبط در این موضوع دغدغه اصلی این تک نگاری مختصر است. کار بعدی رفت‌وآمد یا «تقریباً» کمیت‌های A و B را در نظر می‌گیرد که معمولاً عملگرهای محدود یا نامحدود در فضای هیلبرت هستند، اما گاهی اوقات به عنوان عناصری از فضای هنجاری در نظر گرفته می‌شوند. تلاش برای تاکید بر نقش کموتاتور AB - BA و بررسی ویژگی‌های آن، و همچنین ویژگی‌های اجزای A و B آن در زمانی که دومی تحت محدودیت‌های مختلف است، انجام می‌شود. برخی از کاربردهای نتایج به‌دست‌آمده در مکانیک کوانتومی، نظریه آشفتگی، عملگرهای لورن و تاپلیتز، شکل‌های انتگرال منفرد و ماتریس‌های ژاکوبی انجام می‌شود.

What could be regarded as the beginning of a theory of commutators AB - BA of operators A and B on a Hilbert space, considered as a dis­ cipline in itself, goes back at least to the two papers of Weyl [3] {1928} and von Neumann [2] {1931} on quantum mechanics and the commuta­ tion relations occurring there. Here A and B were unbounded self-adjoint operators satisfying the relation AB - BA = iI, in some appropriate sense, and the problem was that of establishing the essential uniqueness of the pair A and B. The study of commutators of bounded operators on a Hilbert space has a more recent origin, which can probably be pinpointed as the paper of Wintner [6] {1947}. An investigation of a few related topics in the subject is the main concern of this brief monograph. The ensuing work considers commuting or "almost" commuting quantities A and B, usually bounded or unbounded operators on a Hilbert space, but occasionally regarded as elements of some normed space. An attempt is made to stress the role of the commutator AB - BA, and to investigate its properties, as well as those of its components A and B when the latter are subject to various restrictions. Some applica­ tions of the results obtained are made to quantum mechanics, perturba­ tion theory, Laurent and Toeplitz operators, singular integral trans­ formations, and Jacobi matrices.