Chaotic Dynamics in Nonlinear Theory

این کتاب با استفاده از تجزیه و تحلیل صفحه-فاز، یافته‌های حاصل از نظریه نعل اسب‌های توپولوژیکی و نقشه‌های مرتبط با پیچش، روش جدیدی را برای اثبات وجود دینامیک آشفته ارائه می‌کند. در سیستم‌های دینامیکی، رفتار پیچیده در نقشه را می‌توان با نشان دادن وجود ساختاری شبیه نعل اسبی، چه برای خود نقشه و چه برای تکرارهای آن، نشان داد. این معمولاً مستلزم برخی فرضیات در مورد نقشه است، مانند یک دیفئومورفیسم و ​​برخی شرایط هذلولی. در این متن، تعاریف کمتر دقیق‌تری از نعل اسب پیشنهاد شده است تا برخی از ویژگی‌های هندسی معمولی نعل اسب کوچک را بازتولید کند، در حالی که شرایط هیپربولیسیته مرتبط با آن را کنار گذاشته است. این منجر به مطالعه نعل اسب های توپولوژیکی می شود. وجود دینامیک آشوب مانند در یک آونگ مسطح عمودی رانده، یک آونگ با طول متغیر، و در سایر معادلات کلی‌تر مرتبط نیز ثابت شده است.

Using phase–plane analysis, findings from the theory of topological horseshoes and linked-twist maps, this book presents a novel method to prove the existence of chaotic dynamics. In dynamical systems, complex behavior in a map can be indicated by showing the existence of a Smale-horseshoe-like structure, either for the map itself or its iterates. This usually requires some assumptions about the map, such as a diffeomorphism and some hyperbolicity conditions. In this text, less stringent definitions of a horseshoe have been suggested so as to reproduce some geometrical features typical of the Smale horseshoe, while leaving out the hyperbolicity conditions associated with it. This leads to the study of the so-called topological horseshoes. The presence of chaos-like dynamics in a vertically driven planar pendulum, a pendulum of variable length, and in other more general related equations is also proved.