Automorphic Forms and Lie Superalgebras

یک عنصر اصلی در اثبات قضیه مهتاب، که گروه هیولا را به اشکال مدولار متصل می‌کند، جبر لای بعدی بی‌نهایت حالت‌های فیزیکی یک رشته کایرال روی مداری از یک چنبره ۲۶ بعدی به نام هیولا است. جبر دروغ. این جبر Borcherds-Kac-Moody Lie با شبکه ریشه لورنتزی است. و دارای یک فرم اتومورفیک مرتبط با گسترش محصول است که ساختار آن را توصیف می کند. ابرجبرهای دروغ تعمیم جبرهای دروغ هستند که برای به تصویر کشیدن ابرتقارن مفید هستند - تقارن مربوط به فرمیون ها و بوزون ها. بیشتر نمونه‌های شناخته‌شده ابرجبرهای دروغ با شکل خودکار مرتبط مانند جبر دروغ هیولای جعلی که گروه انعکاس آن توسط شبکه زالو ارائه می‌شود، از نظریه (فوق) ریسمان ناشی می‌شوند و می‌توانند از جبرهای رأس شبکه مشتق شوند. قضیه No-Ghost از نظریه تشدید دوگانه و حدس برگر-لی-سرناک در مورد مقادیر ویژه لاپلاسین هذلولی، شواهد محکمی را ارائه می دهد که آنها حداکثر در رتبه 26 قرار دارند.

هدف این کتاب این است که به خواننده ابزاری برای درک طبقه بندی و پروژه ساخت و ساز در حال انجام این کلاس از ابرجبرهای دروغ ارائه می دهد و برای دوره تحصیلات تکمیلی ایده آل است. پیشینه لازم در فصول یا ضمیمه ها آورده شده است.

A principal ingredient in the proof of the Moonshine Theorem, connecting the Monster group to modular forms, is the infinite dimensional Lie algebra of physical states of a chiral string on an orbifold of a 26 dimensional torus, called the Monster Lie algebra. It is a Borcherds-Kac-Moody Lie algebra with Lorentzian root lattice; and has an associated automorphic form having a product expansion describing its structure. Lie superalgebras are generalizations of Lie algebras, useful for depicting supersymmetry – the symmetry relating fermions and bosons. Most known examples of Lie superalgebras with a related automorphic form such as the Fake Monster Lie algebra whose reflection group is given by the Leech lattice arise from (super)string theory and can be derived from lattice vertex algebras. The No-Ghost Theorem from dual resonance theory and a conjecture of Berger-Li-Sarnak on the eigenvalues of the hyperbolic Laplacian provide strong evidence that they are of rank at most 26.

The aim of this book is to give the reader the tools to understand the ongoing classification and construction project of this class of Lie superalgebras and is ideal for a graduate course. The necessary background is given within chapters or in appendices.