Aspects of Integration: Novel Approaches to the Riemann and Lebesgue Integrals

جنبه‌های ادغام: رویکردهای بدیع به انتگرال‌های ریمان و لبگ از دو بخش تشکیل شده است. بخش اول به انتگرال ریمان اختصاص دارد و نه تنها یک رویکرد جدید ارائه می‌کند، بلکه شامل چندین نمونه منظم است که به ندرت در سایر روش‌های ادغام ریمان یافت می‌شوند. اظهارات تاریخی توسعه ادغام را از روش فرسودگی ادوکسوس و ارشمیدس، که برای ارزیابی نواحی مربوط به دایره ها و سهمی ها استفاده می شود، تا تعریف دقیق ریمان از انتگرال معین، که بسط قدرتمندی از روش فرسودگی است و آن را روشن می کند، ردیابی می کند. انتگرال معین واقعاً چیست؟

بخش دوم از رویکرد Riesz و Nagy پیروی می کند که در آن انتگرال Lebesgue بدون نیاز به هیچ نظریه اندازه گیری توسعه یافته است. رویکرد ما تا حدی بدیع است زیرا از انتگرال توابع پیوسته به جای انتگرال توابع گام به عنوان نقطه شروع استفاده می کند. این طبیعی است زیرا انتگرال های ریمان توابع پیوسته بسیار بیشتر از انتگرال های توابع پله ای به عنوان پیشرو ادغام لبگ رخ می دهند. علاوه بر این، رویکرد استفاده شده در اینجا طبیعی است، زیرا توابع پله نقشی در توسعه جدید انتگرال ریمان در قسمت اول کتاب ندارند. ارائه ما از رویکرد Riesz-Nagy به‌طور قابل‌توجهی در دسترس‌تر است، به‌ویژه در بحث آن درباره دو لم کلیدی که رویکرد به طور انتقادی به آنها بستگی دارد، و مختصرتر از سایر درمان‌ها است.

ویژگی ها

• رویکردهای جدید را ارائه می دهد که به گونه ای طراحی شده اند که در دسترس تر از ارائه های کلاسیک باشند.</ span>
• رویکرد جایگزین خوش‌آمد به انتگرال ریمان در دوره‌های تحلیل کارشناسی.
• انتگرال Lebesgue را برای دانشجویان مقطع کارشناسی در دسترس قرار می‌دهد.
• چگونه تکمیل انتگرال ریمان به انتگرال Lebesgue منجر می‌شود.
• شامل تعدادی بینش تاریخی است.
• چشم انداز بیشتری به آن می دهد. محققان و فارغ التحصیلان علاقه مند به انتگرال های ریمان و لبگ.

Aspects of Integration: Novel Approaches to the Riemann and Lebesgue Integrals is comprised of two parts. The first part is devoted to the Riemann integral, and provides not only a novel approach, but also includes several neat examples that are rarely found in other treatments of Riemann integration. Historical remarks trace the development of integration from the method of exhaustion of Eudoxus and Archimedes, used to evaluate areas related to circles and parabolas, to Riemann’s careful definition of the definite integral, which is a powerful expansion of the method of exhaustion and makes it clear what a definite integral really is.

The second part follows the approach of Riesz and Nagy in which the Lebesgue integral is developed without the need for any measure theory. Our approach is novel in part because it uses integrals of continuous functions rather than integrals of step functions as its starting point. This is natural because Riemann integrals of continuous functions occur much more frequently than do integrals of step functions as a precursor to Lebesgue integration. In addition, the approach used here is natural because step functions play no role in the novel development of the Riemann integral in the first part of the book. Our presentation of the Riesz-Nagy approach is significantly more accessible, especially in its discussion of the two key lemmas upon which the approach critically depends, and is more concise than other treatments.

Features

• Presents novel approaches designed to be more accessible than classical presentations.
• A welcome alternative approach to the Riemann integral in undergraduate analysis courses.
• Makes the Lebesgue integral accessible to upper division undergraduate students.
• How completion of the Riemann integral leads to the Lebesgue integral.
• Contains a number of historical insights.
• Gives added perspective to researchers and postgraduates interested in the Riemann and Lebesgue integrals.