An Introductory Guide to Computational Methods for the Solution of Physics Problems: With Emphasis on Spectral Methods

این مونوگراف جنبه‌های اساسی روش‌های محاسباتی طیفی مدرن و سایر روش‌های محاسباتی را ارائه می‌کند که معمولاً در دوره‌های سنتی تدریس نمی‌شوند. بر مفاهیمی به عنوان خطاها، همگرایی، ثبات، نظم و کارایی اعمال شده برای حل مشکلات فیزیکی تأکید دارد. روش‌های طیفی شامل گسترش تابعی است که باید به مجموعه‌ای از توابع پایه مناسب (معمولاً چندجمله‌ای متعامد) محاسبه شود و ضرایب بسط مربوطه از طریق معادلات هم‌آهنگی به‌دست می‌آیند. مزیت اصلی این روش ها این است که به طور همزمان تمام اطلاعات موجود را در نظر می گیرند، نه تنها اطلاعات موجود در تعداد محدودی از نقاط مش را در نظر می گیرند. آنها به معادلات ماتریسی پیچیده تری نسبت به معادلات بدست آمده در روش تفاضل محدود نیاز دارند. با این حال، ظرافت، سرعت، و دقت روش های طیفی بیش از هر گونه اشکالی را جبران می کند.
در طول دوره تک نگاری، نویسندگان معمولاً همگرایی سریع بسط های طیفی و دقت بهبود یافته ای را که هنگام استفاده از نقاط پشتیبان بدون فاصله، در مقایسه با نقاط همفاصله مورد استفاده در روش های تفاضل محدود، حاصل می شود، بررسی می کنند. به طور خاص، آنها دقت افزایش یافته به دست آمده در حل معادلات انتگرال را نشان می دهند.
این مونوگراف شامل مقدمه ای آموزنده بر روش های محاسباتی قدیمی و جدید با مثال های کاربردی متعدد است و در عین حال به خطاهای هر یک از الگوریتم های موجود اشاره می کند. راه حل خاص را معرفی می کند. این یک منبع ارزشمند برای دانشجویان مقطع کارشناسی به عنوان مقدمه ای برای این رشته و برای دانشجویان کارشناسی ارشد است که مایل به مقایسه روش های محاسباتی موجود هستند. علاوه بر این، این کار معیارهای مورد نیاز را برای دانش آموزان ایجاد می کند تا مناسب ترین روش را برای حل مشکل علمی خاصی که با آن مواجه هستند انتخاب کنند.

This monograph presents fundamental aspects of modern spectral and other computational methods, which are not generally taught in traditional courses. It emphasizes concepts as errors, convergence, stability, order and efficiency applied to the solution of physical problems. The spectral methods consist in expanding the function to be calculated into a set of appropriate basis functions (generally orthogonal polynomials) and the respective expansion coefficients are obtained via collocation equations. The main advantage of these methods is that they simultaneously take into account all available information, rather only the information available at a limited number of mesh points. They require more complicated matrix equations than those obtained in finite difference methods. However, the elegance, speed, and accuracy of the spectral methods more than compensates for any such drawbacks.
During the course of the monograph, the authors examine the usually rapid convergence of the spectral expansions and the improved accuracy that results when nonequispaced support points are used, in contrast to the equispaced points used in finite difference methods. In particular, they demonstrate the enhanced accuracy obtained in the solutionof integral equations.
The monograph includes an informative introduction to old and new computational methods with numerous practical examples, while at the same time pointing out the errors that each of the available algorithms introduces into the specific solution. It is a valuable resource for undergraduate students as an introduction to the field and for graduate students wishing to compare the available computational methods. In addition, the work develops the criteria required for students to select the most suitable method to solve the particular scientific problem that they are confronting.