An Introduction to the Finite Element Method 3rd Ed.

An Introduction to the Finite Element Method, 3rd Edition\r......Page 1
Title Page......Page 2
Copyright\r......Page 4
About the Author\r......Page 6
Contents\r......Page 8
Preface\r......Page 16
1.1 General Comments\r......Page 18
1.2 Mathematical Models\r......Page 19
1.3 Numerical Simulations\r......Page 26
1.4.2 The Basic Features\r......Page 30
1.4.3 Some Remarks\r......Page 38
1.4.4 A Brief Review of History and Recent Developments\r......Page 40
1.6 Summary\r......Page 41
Problems\r......Page 42
References for Additional Reading\r......Page 43
2.1.1 Variational Principles and Methods......Page 44
2.1.3 Need for Weighted-Integral Statements\r......Page 45
2.2.1 Coordinate Systems and the Del Operator......Page 48
2.2.2 Boundary Value, Initial Value, and Eigenvalue Problems\r......Page 50
2.2.3 Integral Identities\r......Page 53
2.2.4 Linear and Bilinear FunCtionals\r......Page 56
2.3.2 Variational Operator and First Variation\r......Page 58
2.3.4 The Euler Equations\r......Page 61
2.3.5 Natural and Essential Boundary Conditions\r......Page 64
2.3.6 Hamilton\'s Principle\r......Page 71
2.4.2 Weighted-Integral and Weak FOrmulations\r......Page 75
2.4.3 Linear and Bilinear Forms and Quadratic Functioals\r......Page 81
2.4.4 Examples\r......Page 83
2.5.2 The Ritz Method\r......Page 91
2.5.3 Approximation Functions\r......Page 93
2.5.4 Examples\r......Page 94
2.5.5 The Method of Weighted Residuals\r......Page 108
2.6 Summary\r......Page 114
Problems\r......Page 115
References for Additional Reading\r......Page 119
3.1 Background\r......Page 120
3.2.1 Model Boundary Value Problem\r......Page 121
3.2.2 Discretization of the Domain\r......Page 123
3.2.3 Derivation of Element Equations\r......Page 125
3.2.4 Connectivity of Elements\r......Page 142
3.2.6 Solution of Equations\r......Page 149
3.2.7 Postcomputation of the Solution\r......Page 151
3.3 Some Remarks......Page 158
3.4.1 Model Equation\r......Page 163
3.4.2 Weak Form\r......Page 164
3.4.3 Finite Element Model\r......Page 165
3.5 Summary\r......Page 167
Problems\r......Page 168
References for Additional Reading\r......Page 171
4.1 Preliminary COmments\r......Page 172
4.2.1 Linear Elastic Spring\r......Page 173
4.2.2 Torsion of Circular Shafts\r......Page 175
4.2.3 Electrical Resistor Circuits\r......Page 176
4.2.4 Fluid Flow through Pipes\r......Page 178
4.3.1 Governing Equations......Page 179
4.3.3 Numerical Examples\r......Page 183
4.4.2 Finite Element Model\r......Page 198
4.5.1 Preliminary Comments\r......Page 200
4.5.2 Finite Element Model of Bars and Cables\r......Page 201
4.5.3 Numerical Examples\r......Page 202
4.6.2 Basic Truss Element\r......Page 211
4.6.3 General Truss Element\r......Page 212
4.6.4 Constraint Equations: Penalty Approach\r......Page 219
4.6.5 Constraint Equations: A Direct Approach\r......Page 228
4.7 Summary\r......Page 231
Problems\r......Page 232
References for Additional Reading\r......Page 248
5.2.1 Governing Equation\r......Page 250
5.2.3 Derivation of Element Equations\r......Page 251
5.2.4 Assembly of Element Equations\r......Page 260
5.2.5 Imposition of Boundary Conditions\r......Page 262
5.2.6 Postprocessing of the Solution\r......Page 264
5.2.7 Numerical Examples\r......Page 265
5.3.1 Governing Equations\r......Page 278
5.3.2 Weak Form\r......Page 279
5.3.3 General Finite Element Model\r......Page 281
5.3.4 Consistent Interpolation Elements\r......Page 283
5.3.5 Reduced Integration Element\r......Page 287
5.3.6 Numerical Examples\r......Page 288
5.4.2 Frame Element\r......Page 291
5.5 Summary\r......Page 298
Problems\r......Page 299
References for Additional Reading\r......Page 307
6.1.1 Introduction\r......Page 308
6.1.2 Formulation of Eigenvalue Problems\r......Page 309
6.1.3 Finite Element Formulation\r......Page 312
6.2.1 Introduction\r......Page 331
6.2.2 Semidiscrete Finite Element Models\r......Page 333
6.2.3 Parabolic Equations\r......Page 335
6.2.4 Hyperbolic Equations\r......Page 341
6.2.5 Mass Lumping\r......Page 343
6.2.5 Mass Lumping\r......Page 345
Problems\r......Page 354
References for Additional Reading\r......Page 359
7.1.1 Background\r......Page 360
7.1.2 Natural Coordinates\r......Page 362
7.1.3 Approximation of Geometry\r......Page 363
7.1.4 Isoparametric Formulations\r......Page 364
7.1.5 Numerical Integration\r......Page 365
7.2.1 Introductory Comments\r......Page 373
7.2.2 General OUtline\r......Page 374
7.2.3 Preprocessor\r......Page 376
7.2.4 Calculation of Element Matrices (Processor)\r......Page 377
7.2.5 Assembly of Element Equations Conditions (Processor)\r......Page 380
7.2.6 Imposition of Boundary Conditions (Processor)\r......Page 382
7.2.7 Solving Equations and Postprocessing\r......Page 384
7.3.2 Illustrative Examples\r......Page 387
Problems\r......Page 418
References for Additional Reading\r......Page 423
8.1 Introduction\r......Page 426
8.2.1 The Model Equation\r......Page 427
8.2.2 Finite Element Discretization\r......Page 428
8.2.3 Weak Form\r......Page 429
8.2.4 Finite Element Model\r......Page 432
B.2.5 Derivation of Interpolation Functions\r......Page 434
8.2.6 Evaluation of Element Matrices and Vectors\r......Page 442
8.2.7 Assembly of Element Equations\r......Page 453
8.2.8 Postcomputations\r......Page 457
8.2.9 Axisymmetric Problems\r......Page 458
8.3 A Numerical Example\r......Page 459
8.4.1 Discretization of a Domain\r......Page 470
8.4.2 Generation of Finite Element Data\r......Page 472
8.4.3 Imposition of Boundary Conditions\r......Page 473
8.5.1 Conduction and Convection Heat Transfer\r......Page 475
8.5.2 Fluid Mechanics\r......Page 489
8.5.3 Solid Mechanics\r......Page 502
8.6.1 Introduction\r......Page 507
8.6.2 Parabolic Equations\r......Page 508
8.6.3 Hyperbolic Equations\r......Page 516
Problems\r......Page 521
References for Additional Reading\r......Page 539
9.2.1 Triangular Elements\r......Page 542
9.2.2 Rectangular Elements\r......Page 549
9.2.3 The Serendipity Elements\r......Page 554
9.2.4 Hermite Cubic Interpolation Functions\r......Page 556
9.3.1 Preliminary Comments\r......Page 557
9.3.2 Coordinate Transformations\r......Page 560
9.3.3 Integration over a Master Rectangular Element\r......Page 566
9.3.4 Integration over a Master Triangular Element\r......Page 574
9.4.1 Preliminary Comments\r......Page 578
9.4.2 Element Geometries\r......Page 579
9.4.3 Mesh Generation\r......Page 580
9.4.4 Load Representation\r......Page 584
9.5 Summary\r......Page 586
Problems\r......Page 587
References for Additional Reading\r......Page 592
10.2 Governing Equations\r......Page 594
10.3.1 Weak Formulation\r......Page 596
10.3.2 Finite Element Model\r......Page 598
10.4.2 Formulation of the Flow Problem as a Constrained Problem\r......Page 600
10.4.3 Lagrange Multiplier Model\r......Page 601
10.4.4 Penalty Model\r......Page 602
10.5.1 Properties of the Matrix Equations\r......Page 605
10.5.2 Choice of Elements\r......Page 606
10.5.3 Evaluation of Element Matrices in the Penalty Model\r......Page 607
10.6 Numerical Examples\r......Page 608
10.7 Summary\r......Page 619
Problems\r......Page 620
References for Additional Reading\r......Page 622
11.2.1 Plane Strain\r......Page 624
11.2.2 Plane Stress\r......Page 625
11.2.3 Summary of Equations\r......Page 627
11.3.2 Principle of Virtual Displacements in Vector Form\r......Page 629
11.3.3 Weak Form of the Governing Differential Equations\r......Page 630
11.4.1 General Model\r......Page 631
11.5 Evaluation or Integrals\r......Page 634
11.6 Assembly of Finite Element Equations\r......Page 637
11.7 Examples\r......Page 639
Problems\r......Page 646
References for Additional Reading\r......Page 650
12.1 Introduction\r......Page 652
12.2.1 Displacement Field\r......Page 654
12.2.2 Virtual Work Statement\r......Page 655
12.2.3 Finite Element Model\r......Page 659
12.2.4 Plate Bending Elements\r......Page 660
12.3.1 Displacement Field\r......Page 663
12.3.2 Virtual Work Statement\r......Page 665
12.3.3 Finite Element Model\r......Page 667
12.3.4 Shear Locking and Reduced Integration\r......Page 669
12.4 Eigenvalue and Time-Dependent Problems\r......Page 670
12.5 Examples\r......Page 672
Problems\r......Page 680
References for Additional Reading\r......Page 682
13.1 Introduction\r......Page 684
13.3 Element Computations (Processor)\r......Page 686
13.4.1 Introduction\r......Page 692
13.4.2 Description of Mesh Generators\r......Page 698
13.4.3 Applications (Illustrative Examples)\r......Page 703
13.5 Summary\r......Page 720
Problems\r......Page 722
References for Additional Reading\r......Page 726
14.2.1 Introductory Comments\r......Page 728
14.2.2 Weighted Residual Finite Element Models\r......Page 729
14.2.3 Mixed Formulations\r......Page 739
14.3 Three-Dimensional Problems\r......Page 742
14.3.1 Heat Transfer\r......Page 743
14.3.2 Flows of Viscous Incompressible Fluids\r......Page 744
14.3.3 Elasticity\r......Page 745
14.3.4 Three-Dimensional Finite Elements\r......Page 748
14.3.5 A Numerical Example\r......Page 752
14.4.2 Bending of Euler-Bernoulli Beams\r......Page 753
14.4.3 The Navier-Stokes Equations in Two Dimensions\r......Page 755
14.4.4 Solution Methods for Nonlinear Algebraic Equations\r......Page 756
14.4.5 Numerical Examples\r......Page 757
14.5.1 Types of Errors\r......Page 760
14.5.2 Measures of Errors\r......Page 761
14.5.3 Convergence and Accuracy of Solutions\r......Page 762
14.6 Summary\r......Page 767
Problems\r......Page 768
References for Additional Reading\r......Page 770