A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century

حساب تغییرات موضوعی است که می‌توان شروع آن را دقیقاً تاریخ‌گذاری کرد. ممکن است گفته شود که از لحظه ای شروع می شود که اویلر نام حساب تغییرات را ابداع کرد، اما این، البته، لحظه واقعی شروع موضوع نیست. بی دلیل نبود اگر من به مجموعه مسائل ایزوپریمتری که توسط ریاضیدانان یونانی مانند زنودوروس (حدود 200 قبل از میلاد) در نظر گرفته شده و توسط پاپوس (حدود 300 پس از میلاد) در نظر گرفته شده است، برگردم. من این کار را انجام ندادم چون این مسائل با ابزار هندسی حل شد. در عوض، من خودسرانه انتخاب کردم که با اصل ظریف فرما در مورد حداقل زمان شروع کنم. او از این اصل در سال 1662 استفاده کرد تا نشان دهد که چگونه یک پرتو نور در سطح مشترک بین دو رسانه نوری با چگالی متفاوت شکست می خورد. به نظر من این تحلیل فرما به عنوان نقطه شروع مناسب است: او از روش‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال برای به حداقل رساندن زمان عبور یک پرتو نور از دو رسانه استفاده کرد و روش او توسط جان برنولی برای حل مسئله براکیستوکرون اقتباس شد. چندین تاریخ دیگر در مورد این موضوع وجود داشته است، اما آنها اکنون به طرز ناامیدکننده ای قدیمی هستند. یکی از رابرت وودهاوس در سال 1810 و دیگری توسط آیزاک تودهانتر در سال 1861 ظاهر شد.

The calculus of variations is a subject whose beginning can be precisely dated. It might be said to begin at the moment that Euler coined the name calculus of variations but this is, of course, not the true moment of inception of the subject. It would not have been unreasonable if I had gone back to the set of isoperimetric problems considered by Greek mathemati­ cians such as Zenodorus (c. 200 B. C. ) and preserved by Pappus (c. 300 A. D. ). I have not done this since these problems were solved by geometric means. Instead I have arbitrarily chosen to begin with Fermat's elegant principle of least time. He used this principle in 1662 to show how a light ray was refracted at the interface between two optical media of different densities. This analysis of Fermat seems to me especially appropriate as a starting point: He used the methods of the calculus to minimize the time of passage cif a light ray through the two media, and his method was adapted by John Bernoulli to solve the brachystochrone problem. There have been several other histories of the subject, but they are now hopelessly archaic. One by Robert Woodhouse appeared in 1810 and another by Isaac Todhunter in 1861.