A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations

این سخنرانی‌ها بر روی معادلات دیفرانسیل جزئی تصادفی (غیرخطی) از نوع تکاملی تمرکز دارند. انواع دینامیک با تأثیر تصادفی در طبیعت یا سیستم های پیچیده دست ساز را می توان با چنین معادلاتی مدل کرد.
برای حداقل نگه داشتن نکات فنی، خود را به مواردی محدود می کنیم که عبارت نویز توسط یک انتگرال تصادفی w.r.t داده می شود. یک فرآیند وینر استوانه‌ای. اما همه نتایج را می‌توان به راحتی با نویزهای عمومی‌تر مانند انتگرال تصادفی w.r.t به SPDE تعمیم داد. یک مارتینگل محلی پیوسته.

اساساً سه رویکرد برای تجزیه و تحلیل SPDE وجود دارد: \"رویکرد اندازه گیری مارتینگل\" ، \"رویکرد راه حل ملایم\" و \"رویکرد متغیر\". هدف از این یادداشت ها ارائه مقدمه ای مختصر و تا حد امکان مستقل از "رویکرد متغیر" است. بخش بزرگی از مواد زمینه ضروری، مانند تعاریف و نتایج حاصل از تئوری فضاهای هیلبرت، در ضمیمه ها گنجانده شده است.

These lectures concentrate on (nonlinear) stochastic partial differential equations (SPDE) of evolutionary type. All kinds of dynamics with stochastic influence in nature or man-made complex systems can be modelled by such equations.
To keep the technicalities minimal we confine ourselves to the case where the noise term is given by a stochastic integral w.r.t. a cylindrical Wiener process.But all results can be easily generalized to SPDE with more general noises such as, for instance, stochastic integral w.r.t. a continuous local martingale.

There are basically three approaches to analyze SPDE: the "martingale measure approach", the "mild solution approach" and the "variational approach". The purpose of these notes is to give a concise and as self-contained as possible an introduction to the "variational approach". A large part of necessary background material, such as definitions and results from the theory of Hilbert spaces, are included in appendices.