Cauchy Problem for Differential Operators with Double Characteristics: Non-Effectively Hyperbolic Characteristics

این تک نگاری با ترکیب ابزارهای هندسی و میکرومحلی، شواهد دقیقی از بسیاری از نتایج نامناسب مرتبط با مسئله کوشی برای عملگرهای دیفرانسیل با ویژگی های دوگانه غیرموثر هذلولی ارائه می دهد. که قبلاً در نشریات مختلف متعدد پراکنده شده بود، نتایج از این دیدگاه ارائه می‌شوند که نقشه همیلتون و هندسه دو ویژگی کاملاً به خوبی و بد بودن مسئله کوشی را مشخص می‌کند.
یک نقطه مشخصه مضاعف از یک عملگر دیفرانسیل P از اگر نقشه همیلتون FPm دارای مقادیر ویژه غیر صفر واقعی باشد، مرتبه m (یعنی یکی که Pm = dPm = 0) به طور موثر هذلولی است. زمانی که مشخصه ها حداکثر دو برابر باشند و هر مشخصه مضاعف به طور موثر هذلولی باشد، مشکل کوشی برای P را می توان برای عبارت های مرتبه پایین دلخواه حل کرد.
اگر یک مشخصه غیرموثر هذلولی وجود داشته باشد، حل پذیری به نماد فرعی P نیاز دارد. بین -Pµj و Pµj قرار گیرد، جایی که iµj مقادیر ویژه خیالی مثبت FPm هستند. علاوه بر این، اگر 0 یک مقدار ویژه از FPm با بلوک جردن 4×4 باشد، ساختار طیفی FPm برای تعیین اینکه آیا مسئله کوشی به خوبی مطرح شده است کافی نیست و رفتار دو مشخصه در نزدیکی منیفولد مشخصه مضاعف نقش مهمی ایفا می کند. /p>

Combining geometrical and microlocal tools, this monograph gives detailed proofs of many well/ill-posed results related to the Cauchy problem for differential operators with non-effectively hyperbolic double characteristics. Previously scattered over numerous different publications, the results are presented from the viewpoint that the Hamilton map and the geometry of bicharacteristics completely characterizes the well/ill-posedness of the Cauchy problem.
A doubly characteristic point of a differential operator P of order m (i.e. one where Pm = dPm = 0) is effectively hyperbolic if the Hamilton map FPm has real non-zero eigen values. When the characteristics are at most double and every double characteristic is effectively hyperbolic, the Cauchy problem for P can be solved for arbitrary lower order terms.
If there is a non-effectively hyperbolic characteristic, solvability requires the subprincipal symbol of P to lie between −Pµj and Pµj , where iµj are the positive imaginary eigenvalues of FPm . Moreover, if 0 is an eigenvalue of FPm with corresponding 4 × 4 Jordan block, the spectral structure of FPm is insufficient to determine whether the Cauchy problem is well-posed and the behavior of bicharacteristics near the doubly characteristic manifold plays a crucial role.