Hypergeometric Orthogonal Polynomials and Their q-Analogues

چندجمله‌ای‌های متعامد بسیار کلاسیک به نام‌های هرمیت، لاگر و ژاکوبی، بسیاری از ویژگی‌های رایج را برآورده می‌کنند. برای مثال، آنها یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را با ضرایب چند جمله ای برآورده می کنند و می توان آنها را بر حسب یک تابع فوق هندسی بیان کرد.

جایگزینی معادله دیفرانسیل با یک معادله اختلاف مرتبه دوم منجر به متعامد (گسسته) می شود. راه حل های چند جمله ای با خواص مشابه تعمیم این معادلات تفاوت، بر حسب عملگر q-تفاوت هان، منجر به چندجمله‌ای متعامد پیوسته و گسسته با خواص مشابه می‌شود. به عنوان مثال، آنها را می توان بر حسب توابع فراهندسی (پایه) بیان کرد.

بر اساس قضیه فاوارد، نویسندگان ابتدا تمام خانواده های چند جمله ای متعامد را طبقه بندی می کنند که یک معادله دیفرانسیل یا اختلاف مرتبه دوم را با ضرایب چند جمله ای برآورده می کنند. همراه با مفهوم دوگانگی، این منجر به خانواده‌های چندجمله‌ای متعامد فوق هندسی می‌شود که به طرح Askey تعلق دارند. برای هر خانواده، مهم‌ترین ویژگی‌ها را فهرست می‌کنند و روابط (حد) را نشان می‌دهند.

علاوه بر این، نویسندگان همه چندجمله‌ای‌های متعامد q را طبقه‌بندی می‌کنند که مرتبه دوم q را برآورده می‌کنند. -معادله تفاوت بر اساس عملگر q هان. همراه با مفهوم دوگانگی، این منجر به خانواده‌های چندجمله‌ای متعامد فرا هندسی اساسی می‌شود که می‌توانند در یک آنالوگ q از طرح Askey مرتب شوند. مجدداً، برای هر خانواده مهم‌ترین ویژگی‌ها را فهرست می‌کنند، روابط (حد) بین خانواده‌های مختلف و روابط حد (برای q --

The very classical orthogonal polynomials named after Hermite, Laguerre and Jacobi, satisfy many common properties. For instance, they satisfy a second-order differential equation with polynomial coefficients and they can be expressed in terms of a hypergeometric function.

Replacing the differential equation by a second-order difference equation results in (discrete) orthogonal polynomial solutions with similar properties. Generalizations of these difference equations, in terms of Hahn's q-difference operator, lead to both continuous and discrete orthogonal polynomials with similar properties. For instance, they can be expressed in terms of (basic) hypergeometric functions.

Based on Favard's theorem, the authors first classify all families of orthogonal polynomials satisfying a second-order differential or difference equation with polynomial coefficients. Together with the concept of duality this leads to the families of hypergeometric orthogonal polynomials belonging to the Askey scheme. For each family they list the most important properties and they indicate the (limit) relations.

Furthermore the authors classify all q-orthogonal polynomials satisfying a second-order q-difference equation based on Hahn's q-operator. Together with the concept of duality this leads to the families of basic hypergeometric orthogonal polynomials which can be arranged in a q-analogue of the Askey scheme. Again, for each family they list the most important properties, the (limit) relations between the various families and the limit relations (for q --> 1) to the classical hypergeometric orthogonal polynomials belonging to the Askey scheme.

These (basic) hypergeometric orthogonal polynomials have several applications in various areas of mathematics and (quantum) physics such as approximation theory, asymptotics, birth and death processes, probability and statistics, coding theory and combinatorics.