Математический анализ. Ч.1

Титульный лист
Выходные данные
Оглавление
Из предисловия к первому изданию
Из предисловия ко второму изданию
Предисловие к седьмому изданию
Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения
	§ 1. Логическая символика
		1. Связки и скобки
		2. Замечания о доказательствах
		3. Некоторые специальные обозначения
		4. Заключительные замечания
		Упражнения
	§ 2. Множества и элементарные операции над множествами
		1. Понятие множества
		2. Отношение включения
		3. Простейшие операции над множествами
		Упражнения
	§ 3. Функция
		1. Понятие функции (отображения)
		2. Простейшая классификация отображений
		3. Композиция функций и взаимно обратные отображения
		4. Функция как отношение. График функции
		Упражнения
	§ 4. Некоторые дополнения
		1. Мощность множества (кардинальные числа)
		2. Об аксиоматике теории множеств
		3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств
		Упражнения
Глава II. Действительные (вещественные) числа
	§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел
		1. Определение множества действительных чисел
		2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел
		3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества
	§ 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
		1. Натуральные числа и принцип математической индукции
		2. Рациональные и иррациональные числа
		3. Принцип Архимеда
		4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
		Задачи и упражнения
	§ 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел
		1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши—Кантора)
		2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля—Лебега)
		3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано—Вейерштрасса)
		Задачи и упражнения
	§ 4. Счетные и несчетные множества
		1. Счетные множества
		2. Мощность континуума
		Задачи и упражнения
Глава III. Предел
	§ 1. Предел последовательности
		1. Определения и примеры
		2. Свойства предела последовательности
		3. Вопросы существования предела последовательности
		4. Начальные сведения о рядах
		Задачи и упражнения
	§ 2. Предел функции
		1. Определения и примеры
		2. Свойства предела функции
		3. Общее определение предела функции (предел по базе)
		4. Вопросы существования предела функции
		Задачи и упражнения
Глава IV. Непрерывные функции
	§ 1. Основные определения и примеры
		1. Непрерывность функции в точке
		2. Точки разрыва
	§ 2. Свойства непрерывных функций
		1. Локальные свойства
		2. Глобальные свойства непрерывных функций
		Задачи и упражнения
Глава V. Дифференциальное исчисление
	§ 1. Дифференцируемая функция
		1. Задача и наводящие соображения
		2. Функция, дифференцируемая в точке
		3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала
		4. Роль системы координат
		5. Некоторые примеры
		Задачи и упражнения
	§ 2. Основные правила дифференцирования
		1. Дифференцирование и арифметические операции
		2. Дифференцирование композиции функций
		3. Дифференцирование обратной функции
		4. Таблица производных основных элементарных функций
		5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции
		6. Производные высших порядков
		Задачи и упражнения
	§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
		1. Лемма Ферма и теорема Ролля
		2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении
		3. Формула Тейлора
		Задачи и упражнения
	§ 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления
		1. Условия монотонности функции
		2. Условия внутреннего экстремума функции
		3. Условия выпуклости функции
		4. Правило Лопиталя
		5. Построение графика функции
		Задачи и упражнения
	§ 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций
		1. Комплексные числа
		2. Сходимость в C и ряды с комплексными членами
		3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций
		4. Представление функции степенным рядом, аналитичность
		5. Алгебраическая замкнутость поля C комплексных чисел
		Задачи и упражнения
	§ 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания
		1. Движение тела переменной массы
		2. Барометрическая формула
		3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел
		4. Падение тел в атмосфере
		5. Еще раз о числе e и функции exp x
		6. Колебания
		Задачи и упражнения
	§ 7. Первообразная
		1. Первообразная и неопределенный интеграл
		2. Основные общие приемы отыскания первообразной
		3. Первообразные рациональных функций
		4. Первообразные вида ∫R(cos x, sin x)dx
		5. Первообразные вида ∫R(x, y(x))dx
		Задачи и упражнения
Глава VI. Интеграл
	§ 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций
		1. Задача и наводящие соображения
		2. Определение интеграла Римана
		3. Множество интегрируемых функций
		Задачи и упражнения
	§ 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла
		1. Интеграл как линейная функция на пространстве R[a, b]
		2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования
		3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем
		Задачи и упражнения
	§ 3. Интеграл и производная
		1. Интеграл и первообразная
		2. Формула Ньютона—Лейбница
		3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора
		4. Замена переменной в интеграле
		5. Некоторые примеры
		Задачи и упражнения
	§ 4. Некоторые приложения интеграла
		1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл
		2. Длина пути
		3. Площадь криволинейной трапеции
		4. Объем тела вращения
		5. Работа и энергия
		Задачи и упражнения
	§ 5. Несобственный интеграл
		1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов
		2. Исследование сходимости несобственного интеграла
		3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями
		Задачи и упражнения
Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерывность
	§ 1. Пространство R^m и важнейшие классы его подмножеств
		1. Множество R^m и расстояние в нем
		2. Открытые и замкнутые множества в R^m
		3. Компакты в R^m
		Задачи и упражнения
	§ 2. Предел и непрерывность функции многих переменных
		1. Предел функции
		2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций
		Задачи и упражнения
Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
	§ 1. Векторная структура в Rm
		1. Rm как векторное пространство
		2. Линейные отображения L: R^m -> R^n
		3. Норма в R^m
		4. Евклидова структура в R^m
	§ 2. Дифференциал функции многих переменных
		1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке
		2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции
		3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби
		4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке
	§ 3. Основные законы дифференцирования
		1. Линейность операции дифференцирования
		2. Дифференцирование композиции отображений
		3. Дифференцирование обратного отображения
		Задачи и упражнения
	§ 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных
		1. Теорема о среднем
		2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных
		3. Частные производные высшего порядка
		4. Формула Тейлора
		5. Экстремумы функций многих переменных
		6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных
		Задачи и упражнения
	§ 5. Теорема о неявной функции
		1. Постановка вопроса и наводящие соображения
		2. Простейший вариант теоремы о неявной функции
		3. Переход к случаю зависимости F(x^1,…, x^m, y)=0
		4. Теорема о неявной функции
		Задачи и упражнения
	§ 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
		1. Теорема об обратной функции
		2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду
		3. Зависимость функций
		4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших
		5. Лемма Морса
		Задачи и упражнения
	§ 7. Поверхность в R^n и теория условного экстремума
		1. Поверхность размерности k в R^n
		2. Касательное пространство
		3. Условный экстремум
		Задачи и упражнения
Некоторые задачи коллоквиумов
Вопросы к экзамену
Дополнения
	1. Математический анализ (вводная лекция для первого курса)
	2. Начальные сведения о численных методах решения уравнений
	3. Преобразование Лежандра (первое обсуждение)
	4. Интеграл Римана—Стилтьеса, дельта-функция и идея обобщенных функций (начальные представления)
	5. Формула Эйлера—Маклорена
	6. Теорема о неявной функции (альтернативное изложение)
Литература
Предметный указатель
Указатель имен