Über die Theorie der ganzen algebraischen Zahlen

در توجیه این ویرایش از یازدهمین متمم معروف ددکیند به "سخنرانی‌هایی در باب نظریه اعداد" دیریکله، نمی‌توانم کلماتی بهتر از کلمات خود ددکیند در پایان پیشگفتارش بر ویرایش دوم این "سخنرانی‌ها" (1871) پیدا کنم. در نهایت سعی کردم تا جایی که امکان داشت به منابع مراجعه کنم تا خواننده را به مطالعه آثار اصلی ترغیب کنم و تصویری از پیشرفت های علم را که به همان اندازه عمیق و متعالی است در او بیدار کنم. حقایق گنجینه ای را تشکیل می دهند که ثمره جاودانه رقابت واقعاً شریف مردم اروپاست.» ضمیمه یازدهم که برای اولین بار در چاپ سوم منتشر شد، بیان مجدد بخش مهمی (§§ 159-170) از ضمیمه دهم بود. از ویرایش دوم ددکیند در مقدمه چاپ دوم درباره این بخش می نویسد: «سرانجام در این متمم یک نظریه کلی از آرمان ها آورده ام تا از دیدگاهی بالاتر، موضوع اصلی کل کتاب را روشن کنم. باید اذعان کنم که باید ارائه اصول اولیه را محدود کنم، اما امیدوارم تلاش برای دلیل مشخص، که با چنین موفقیت های زیبایی در سایر بخش های ریاضیات به پایان رسیده است، ممکن است من را کاملاً ناکام نکرده باشد." حتی قبل از ددکیند، کرونکر یک نظریه ایده آل از میدان های اعداد جبری توسعه یافته بود، اما نظریه ددکیند مستقل از نظریه کرونکر بوجود آمد.

Zur Rechtfertigung dieser Edition von Dedekinds berühmtem elften Supplement zu Dirichlets "Vorlesungen über Zahlentheorie" kann ich keine besseren Worte finden als die von Dedekind selbst am Schluß seines Vorworts zur zweiten Auflage dieser "V orlesungen" (1871): "Endlich habe ich mich bemüht, überall, wo es mir möglich war, auf die Quellen zu verweisen, um den Leser zum Studium der Original werke zu veranlassen und in ihm ein Bild von den Fortschritten der Wissenschaft zu erwecken, deren ebenso tiefe wie erhabene Wahrheiten einen Schatz bilden, welcher die unvergängliche Frucht eines wahrhaft edelen Wett­ kampfes der europäischen Völker ist. " Das elfte Supplement, das zuerst in der dritten Auflage erschien, war eine Neufassung eines bedeutenden Abschnittes (§§ 159-170) des zehnten Supplementes der zweiten Auflage. Über diesen Abschnitt schreibt Dedekind im Vorwort zur zweiten Auflage: "Endlich habe ich in dieses Supplement eine allgemeine Theorie der Ideale aufgenommen, um auf den Hauptgegenstand des ganzen Buches von einem höheren Standpunkte aus ein neues Licht zu werfen; hierbei habe ich mich freilich auf die Darstellung der Grundlagen beschränken müssen, doch hoffe ich, daß das Streben nach charakteristischen Grund­ begriffen, welches in anderen Teilen der Mathematik mit so schönen Erfolgen gekrönt ist, mir nicht ganz mißglückt sein möge. " Schon vor Dedekind hatte Kronecker eine Idealtheorie der algebraischen Zahlkörper entwickelt, aber die Dedekindsche Theorie ist unabhängig von der Kroneckerschen entstanden.