Wstęp do informatyki i kryptografii kwantowej

Spis treści 
 
1.  Wprowadzenie ............................................................................................................................................... 4 
1.1.  Informacja klasyczna ............................................................................................................................. 4 
1.2.  Informacja kwantowa ............................................................................................................................ 5 
1.3.  Pomiar i dekoherencja ........................................................................................................................... 6 
1.4.  Komputer kwantowy – perspektywy i ograniczenia ............................................................................ 11 
2.  Zasady kwantowego opisu........................................................................................................................... 16 
3.  Pomiar w mechanice kwantowej ................................................................................................................. 18 
3.1.  Pomiar w sensie von Neumanna – superwybór śurka ......................................................................... 20 
4.  Macierz gęstości .......................................................................................................................................... 23 
5.  Reprezentacja Schmidta i liczba Schmidta, stany splątane ......................................................................... 27 
6.  Geometryczne własności macierzy gęstości ................................................................................................ 29 
7.  Zbiór wypukły macierzy gęstości qubitu  (sfera Blocha) ............................................................................ 31 
8.  Protokoły kwantowe .................................................................................................................................... 35 
8.1.  Super gęste kodowanie ........................................................................................................................ 35 
8.2.  Teleportacja kwantowa ........................................................................................................................ 36 
9.  Ewolucja w czasie macierzy gęstości .......................................................................................................... 39 
10.  Sterowanie qubitem – oscylacje Rabiego ................................................................................................ 42 
11.  Twierdzenia No-cloning, No-broadcasting oraz No-deleting .................................................................. 46 
11.1.  Twierdzenie No-cloning .................................................................................................................. 46 
11.2.  Twierdzenie No-broadcasting – konsekwencje ............................................................................... 49 
11.3.  Twierdzenie No-deleting – konsekwencje ...................................................................................... 49 
12.  Bramki jedno-qubitowe ........................................................................................................................... 54 
12.1.  Macierze Pauliego ........................................................................................................................... 54 
12.2.  Bramka Pauliego  X  ...................................................................................................................... 55 
12.3.  Bramka Pauliego Y  ........................................................................................................................ 56 
12.4.  Bramka Pauliego  Z  ....................................................................................................................... 56 
12.5.  Bramka Hadamarda ......................................................................................................................... 57 
12.6.  Bramka fazy .................................................................................................................................... 58 
12.7.  Bramka 
8
π
 ...................................................................................................................................... 59 
12.8.  Bramka 
i
e
φ
  (przesunięcie fazy o 
φ
) ............................................................................................. 60 
12.9.  Rotacje na sferze Blocha ................................................................................................................. 61 
12.10.  Twierdzenie o przedstawieniu dowolnej operacji jedno-qubitowej za pomocą operatorów obrotu 67 
13.  Bramki wielo-qubitowe ........................................................................................................................... 71 
13.1.  Bramka kontrolowanej negacji (CNOT) ......................................................................................... 71 
13.2.  Układ kopiujący .............................................................................................................................. 75 
13.3.  Bramka kontrolowanej operacji U  ................................................................................................ 76 
13.4.  Działanie bramki  CNOT  na macierz gęstości układu dwóch qubitów ........................................ 79 
13.5.  Bramka  SWAP  ............................................................................................................................. 85 
13.6.  Bramka  CNOT  w reprezentacji dowolnej kontrolowanej bramki U  ......................................... 86 
13.7.  Bramka Toffoli ................................................................................................................................ 88 
13.8.  Bramka Fredkina ............................................................................................................................. 90 
13.9.  Dowolna kontrolowana operacja U  ............................................................................................... 91 
13.10.  Operacje wielo-qubitowe – bramki uniwersalne ............................................................................. 94 
14.  Układ bramek kwantowych realizujący splątane stany (stany Bella) .................................................... 100 
15.  Układ bramek kwantowych realizujący teleportację kwantowych stanów ............................................ 101 
16.  Równoległość kwantowa ....................................................................................................................... 102 
17.  Kwantowa transformata Fouriera ........................................................................................................... 105 
18.  Algorytm Grovera – poszukiwanie igły w stogu siana (finding needle in a haystack) .......................... 113 
19.  Algorytm Shora – łamanie szyfru RSA ................................................................................................. 117 
20.  Literatura ................................................................................................................................................ 124