Wiener Chaos: Moments, Cumulants and Diagrams: A survey with computer implementation

مفهوم آشوب وینر به یک تنظیم بی‌بعدی، ویژگی‌های چندجمله‌ای متعامد مرتبط با توزیع‌های احتمال در خط واقعی را تعمیم می‌دهد. نقش مهمی در تئوری احتمالات مدرن، با کاربردهای مختلف از حساب مالیاوین تا معادلات دیفرانسیل تصادفی و از تقریب های احتمالی تا مالی ریاضی ایفا می کند. این کتاب به ساختارهای ترکیبی ناشی از مطالعه متغیرهای تصادفی آشفته مرتبط با معیارهای تصادفی بی‌نهایت قابل تقسیم می‌پردازد. ساختارهای ترکیبی مربوط به پارتیشن‌های مجموعه‌های محدود هستند که توابع موبیوس و فرمول‌های وارونگی مرتبط با آن تعریف می‌شوند. این دیدگاه ترکیبی (که در اصل به دلیل روتا و والستروم است) یک چارچوب ایده‌آل برای نمودارها فراهم می‌کند، که دستگاه‌های گرافیکی هستند که برای محاسبه لحظه‌ها و تجمعات متغیرهای تصادفی استفاده می‌شوند. چندین کاربرد، به ویژه قضایای حد اخیر برای متغیرهای تصادفی آشفته توصیف شده است. یک ضمیمه یک پیاده سازی کامپیوتری در MATHEMATICA برای بسیاری از فرمول ها ارائه می دهد.

The concept of Wiener chaos generalizes to an infinite-dimensional setting the properties of orthogonal polynomials associated with probability distributions on the real line. It plays a crucial role in modern probability theory, with applications ranging from Malliavin calculus to stochastic differential equations and from probabilistic approximations to mathematical finance. This book is concerned with combinatorial structures arising from the study of chaotic random variables related to infinitely divisible random measures. The combinatorial structures involved are those of partitions of finite sets, over which Möbius functions and related inversion formulae are defined. This combinatorial standpoint (which is originally due to Rota and Wallstrom) provides an ideal framework for diagrams, which are graphical devices used to compute moments and cumulants of random variables. Several applications are described, in particular, recent limit theorems for chaotic random variables. An Appendix presents a computer implementation in MATHEMATICA for many of the formulae.