Why Prove it Again?: Alternative Proofs in Mathematical Practice

این تک نگاری چندین قضیه ریاضی معروف را در نظر می گیرد و این سوال را مطرح می کند که "چرا دوباره آن را ثابت کنیم؟" در حین بررسی شواهد جایگزین این مقاله دلایل مختلفی را که ممکن است ریاضیدانان برای تعقیب و ارائه شواهد جدید از نتایج تثبیت شده قبلی داشته باشند و همچنین نحوه قضاوت آنها در مورد متفاوت بودن دو اثبات یک نتیجه مشخص را بررسی می کند. در حالی که تعدادی از کتاب‌ها اثبات‌های جایگزین قضایای فردی را بررسی کرده‌اند، این اولین کتابی است که مطالعات موردی مقایسه‌ای روش‌های دیگر را برای انواع قضایای مختلف ارائه می‌کند.

نویسنده با طرح معیارهایی برای تمایز بین قضایای مختلف شروع می‌کند. اثبات می کند و دلایلی را برمی شمارد که چرا اثبات های جدید، برای مدت طولانی، نقش برجسته ای در تمرین ریاضی داشته اند. او سپس اهداف مختلفی را بیان می کند که اثبات های جایگزین ممکن است در خدمت آنها باشند. هر فصلی که در ادامه می‌آید، مطالعه موردی مفصلی از اثبات‌های جایگزین برای قضایای خاص، از جمله قضیه فیثاغورث، قضیه اساسی حساب، قضیه دزارگ، قضیه اعداد اول، و اثبات تقلیل‌ناپذیری چندجمله‌ای سیکلوتومیک ارائه می‌دهد.

چرا دوباره آن را ثابت کنیم؟ برای طیف وسیعی از خوانندگان، از جمله مورخان و فیلسوفان ریاضیات، دانشجویان و ریاضیدانان شاغل جذاب خواهد بود. علاوه بر این، معلمان آن را منبع مفیدی از روش‌های جایگزین برای ارائه مطالب به دانش‌آموزان خود می‌دانند.

This monograph considers several well-known mathematical theorems and asks the question, “Why prove it again?” while examining alternative proofs. It explores the different rationales mathematicians may have for pursuing and presenting new proofs of previously established results, as well as how they judge whether two proofs of a given result are different. While a number of books have examined alternative proofs of individual theorems, this is the first that presents comparative case studies of other methods for a variety of different theorems.

The author begins by laying out the criteria for distinguishing among proofs and enumerates reasons why new proofs have, for so long, played a prominent role in mathematical practice. He then outlines various purposes that alternative proofs may serve. Each chapter that follows provides a detailed case study of alternative proofs for particular theorems, including the Pythagorean Theorem, the Fundamental Theorem of Arithmetic, Desargues’ Theorem, the Prime Number Theorem, and the proof of the irreducibility of cyclotomic polynomials.

Why Prove It Again? will appeal to a broad range of readers, including historians and philosophers of mathematics, students, and practicing mathematicians. Additionally, teachers will find it to be a useful source of alternative methods of presenting material to their students.