White Noise: An Infinite Dimensional Calculus

بسیاری از زمینه‌های ریاضیات کاربردی نیاز به یک حساب کارآمد در ابعاد نامحدود دارند. این در فیزیک کوانتومی و در تمام رشته‌های علمی که پدیده‌های طبیعی را با معادلات تصادفی توصیف می‌کنند، آشکارتر است. با این تک نگاری قصد داریم چارچوبی برای تحلیل در ابعاد بی نهایت ارائه کنیم که به اندازه کافی انعطاف پذیر باشد تا در بسیاری از زمینه ها قابل اجرا باشد و از سوی دیگر شهودی و کارآمد باشد. اینکه آیا ما به هدف خود رسیدیم یا نه، باید به قضاوت خواننده واگذار شود. این کتاب به بررسی تئوری و کاربردهای تحلیل و تحلیل عملکردی در ابعاد بی نهایت بر اساس نویز سفید می پردازد. منظور ما از نویز سفید، فرآیند گاوسی تعمیم یافته است که (به طور غیررسمی) توسط مشتق زمانی فرآیند وینر، یعنی با سرعت mdtion براونی داده می شود. بنابراین، در اصل ما تجزیه و تحلیلی را در فضای گاوسی و کاربردهایی در زمینه های مختلف sClence ارائه می کنیم. حساب دیفرانسیل و انتگرال، آنالیز و آنالیز تابعی در ابعاد بی نهایت (یا فرمول بندی های بدون بعد این بخش های ریاضیات کلاسیک) سابقه ای طولانی دارند. نمونه های اولیه را می توان در آثار دیریکله، اویلر، همیلتون، لاگرانژ و ریمان در مورد مسائل تغییرات یافت. در آغاز این قرن، Frechet، Gateaux و Volterra سهم اساسی در محاسبه توابع بر روی فضاهای بینهایت بعدی داشتند. کارهای مهم و الهام بخش وینر و لوی در نیمه اول این قرن دنبال شد. علاوه بر این، مقالات و کتاب های وینر و لوی دیدگاهی نسبت به نظریه احتمال داشتند.

Many areas of applied mathematics call for an efficient calculus in infinite dimensions. This is most apparent in quantum physics and in all disciplines of science which describe natural phenomena by equations involving stochasticity. With this monograph we intend to provide a framework for analysis in infinite dimensions which is flexible enough to be applicable in many areas, and which on the other hand is intuitive and efficient. Whether or not we achieved our aim must be left to the judgment of the reader. This book treats the theory and applications of analysis and functional analysis in infinite dimensions based on white noise. By white noise we mean the generalized Gaussian process which is (informally) given by the time derivative of the Wiener process, i.e., by the velocity of Brownian mdtion. Therefore, in essence we present analysis on a Gaussian space, and applications to various areas of sClence. Calculus, analysis, and functional analysis in infinite dimensions (or dimension-free formulations of these parts of classical mathematics) have a long history. Early examples can be found in the works of Dirichlet, Euler, Hamilton, Lagrange, and Riemann on variational problems. At the beginning of this century, Frechet, Gateaux and Volterra made essential contributions to the calculus of functions over infinite dimensional spaces. The important and inspiring work of Wiener and Levy followed during the first half of this century. Moreover, the articles and books of Wiener and Levy had a view towards probability theory.