Weitere Anwendungen der Methode der LIE-Reihen, insbesondere auf Probleme der Schalentheorie

در یک گزارش تحقیقاتی قبلی [20]، نتایج بررسی‌ها در مورد پردازش عددی مسائل ارزش اولیه سیستم‌های معادلات دیفرانسیل معمولی با استفاده از سری LIE گزارش شد (همچنین به [13] تا [16] مراجعه کنید)*. با این حال، روش سری LIE همچنین ثابت می کند که گاهی اوقات ابزار بسیار مفیدی برای طیف وسیعی از مسائل دیگر از حوزه های مختلف ریاضیات است. اول از همه، کاربرد آنها برای درمان عددی مسائل ارزش مرزی معادلات دیفرانسیل معمولی در اینجا تعلق دارد [7]، [24]. از آنجایی که سیستم های معادلات دیفرانسیل جزئی را می توان با کمک معادلات ویژگی های آنها به سیستم های معادلات دیفرانسیل معمولی ردیابی کرد، این روش می تواند برای درمان مسائل ارزش اولیه در معادلات دیفرانسیل جزئی مورد استفاده قرار گیرد [8]. گزارش حاضر به دو کاربرد روش سری LIE در دو حوزه مشکل مستقل می پردازد. در بخش اول، کاربرد روشی برای درمان فوری مسائل مقدار مرزی در معادلات دیفرانسیل جزئی خطی معین ارائه شده است. توسعه روش و آزمایش عددی آن با استفاده از مثال معادلات پایه تئوری پوسته صورت می گیرد. سپس در قسمت دوم، بر اساس کاربرد سری LIE برای وارونگی سیستم های تابعی که توسط W. GRÖBNER [8] ارائه شده است، یک روش عددی برای حل هر سیستم معادله (غیر خطی) نشان داده شده است. مفروضات و معادلات تئوری پوسته مورد نیاز در قسمت 1 قبلاً به طور خلاصه توسعه داده شده است (همچنین رجوع کنید به [17]، [21]).

In einem früheren Forschungsbericht [20] wurden die Ergebnisse von Unter­ suchungen über die numerische Behandlung von Anfangswertproblemen ge­ wöhnlicher Differentialgleichungssysteme mit Hilfe von LIE-Reihen mitgeteilt (vgl. hierzu auch [13] bis [16])*. Doch erweist sich die LIE-Reihen-Methode auch für eine ganze Reihe anderer Probleme aus verschiedenen Gebieten der Mathematik als ein mitunter recht nützliches Hilfsmittel. Hierher gehört zu­ nächst ihre Anwendung zur numerischen Behandlung von Randwertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen [7], [24]. Da sich Systeme partieller Differentialgleichungen mit Hilfe der Gleichungen ihrer Charakteristiken auf gewöhnliche Differentialgleichungssysteme zurück­ führen lassen, bietet sich schon auf diesem Wege eine Anwendung der Methode zur Behandlung von Anfangswertproblemen bei partiellen Differentialgleichungen an [8]. Der vorliegende Bericht befaßt sich mit zwei Anwendungen der LIE-Reihen­ Methode auf zwei voneinander unabhängige Problemkreise. Zunächst wird im 1. Teil eine Anwendung der Methode zur unmittelbaren Behandlung von Rand­ wertproblemen bei gewissen linearen partiellen Differentialgleichungen dargelegt. Die Entwicklung des Verfahrens und seine numerische Erprobung erfolgt am Beispiel der Grundgleichungen der Schalentheorie. Sodann wird im 2. Teil auf Grund der schon von W. GRÖBNER [8] gegebenen Anwendung der LIE-Reihen zur Inversion von Funktionensystemen ein numerisches Verfahren zur Auf­ lösung beliebiger (nichtlinearer) Gleichungssysteme aufgezeigt. Die im 1. Teil benötigten Annahmen und Gleichungen der Schalentheorie werden zuvor kurz entwickelt (vgl. auch [17], [21]).