Weakly Semialgebraic Spaces

این کتاب قسمت دوم یک رساله سه جلدی مورد نظر در مورد توپولوژی نیمه جبری بر روی یک میدان بسته واقعی دلخواه R است. در جلد اول (LNM 1173) مقوله LSA(R) یا فضاهای نیمه جبری محلی پاراکامپکت منظم بر روی R بود. مطالعه کرد. دسته WSA(R) فضاهای نیمه جبری ضعیف بر روی R - کانون این جلد جدید - شامل LSA(R) به عنوان یک زیرمجموعه کامل است. این کتاب شواهد زیادی را ارائه می‌کند که WSA(R) کادر مناسب برای درک هموتوپی و همسانی مجموعه‌های نیمه جبری است، در حالی که LSA(R) از زاویه هندسی طبیعی‌تر و زیباتر به نظر می‌رسد. مجموعه های نیمه جبری در LSA(R) و WSA(R) به عنوان زیر شاخه کامل SA(R) فضاهای نیمه جبری وابسته ظاهر می شوند. این نظریه جدید است اگرچه از توپولوژی جبری وام گرفته است. نکته برجسته اثبات این است که هر نظریه همسانی توپولوژیکی تعمیم یافته دارای همتای در WSA(R) است که به نوعی "همان" یا حتی بهتر از آن، ویژگی های نظریه توپولوژیکی دارد. بنابراین می‌توان از گروه‌های همسانی معمولی (= مفرد)، گروه‌های K متعامد، واحد یا سمپلتیک، و انواع مختلف گروه‌های همبستگی یک مجموعه نیمه جبری بر روی R صحبت کرد. این گروه ها در دسته مجموعه های نیمه جبری بر روی R: با فضاهای نیمه جبری ضعیف این کار آسان می شود. برای ما باقی می ماند که عناصر این گروه ها را با عبارات هندسی تفسیر کنیم: این کار در اینجا برای همسانی معمولی (هم) انجام می شود.

The book is the second part of an intended three-volume treatise on semialgebraic topology over an arbitrary real closed field R. In the first volume (LNM 1173) the category LSA(R) or regular paracompact locally semialgebraic spaces over R was studied. The category WSA(R) of weakly semialgebraic spaces over R - the focus of this new volume - contains LSA(R) as a full subcategory. The book provides ample evidence that WSA(R) is "the" right cadre to understand homotopy and homology of semialgebraic sets, while LSA(R) seems to be more natural and beautiful from a geometric angle. The semialgebraic sets appear in LSA(R) and WSA(R) as the full subcategory SA(R) of affine semialgebraic spaces. The theory is new although it borrows from algebraic topology. A highlight is the proof that every generalized topological (co)homology theory has a counterpart in WSA(R) with in some sense "the same", or even better, properties as the topological theory. Thus we may speak of ordinary (=singular) homology groups, orthogonal, unitary or symplectic K-groups, and various sorts of cobordism groups of a semialgebraic set over R. If R is not archimedean then it seems difficult to develop a satisfactory theory of these groups within the category of semialgebraic sets over R: with weakly semialgebraic spaces this becomes easy. It remains for us to interpret the elements of these groups in geometric terms: this is done here for ordinary (co)homology.