Vortices in Bose—Einstein Condensates

از اولین دستاورد آزمایشی میعانات بوز-اینشتین (BEC) در سال 1995 و اعطای جایزه نوبل فیزیک در سال 2001، خواص این سیالات کوانتومی گازی کانون توجه بین المللی در فیزیک بوده است. این مونوگراف به مدل‌سازی ریاضی برخی آزمایش‌های خاص که گرداب‌ها را نشان می‌دهند و به تجزیه و تحلیل دقیق ویژگی‌هایی که به صورت تجربی ظهور می‌کنند اختصاص دارد.

بر خلاف یک سیال کلاسیک، یک سیال کوانتومی مانند به عنوان یک میعانات بوز-اینشتین فقط می تواند از طریق هسته زایی گردابه های کوانتیزه فراتر از برخی از سرعت های بحرانی بچرخد. دو رژیم جالب وجود دارد: یکی نزدیک به سرعت بحرانی، که در آن تنها یک گرداب وجود دارد که شکل بسیار خاصی دارد. و دیگری در مقادیر چرخش بالا، که برای آن یک شبکه متراکم مشاهده می شود.

یکی از ویژگی های کلیدی مربوط به ابر سیالیت، وجود این گرداب ها است. ما این موضوع را به صورت ریاضی بررسی می کنیم و اطلاعاتی در مورد شکل، تعداد و مکان آنها بدست می آوریم. در حد رقیق این آزمایش‌ها، میعانات به خوبی با یک نظریه میدان میانگین و یک تابع موج ماکروسکوپی که معادله گروس-پیتافسکی نامیده می‌شود، توصیف می‌شود. ابزارهای ریاضی مورد استفاده تخمین انرژی، همگرایی گاما و تکنیک های همگن سازی هستند. ما وجود راه‌حل‌هایی را ثابت می‌کنیم که دارای خواصی مطابق با مشاهدات تجربی هستند. مشکلات باز مربوط به آزمایش های اخیر ارائه شده است.

این کار می تواند به عنوان مرجعی برای محققان ریاضی و فیزیکدانان نظری علاقه مند به ابر سیالات و سیالات کوانتومی باشد و همچنین می تواند مکمل یک سمینار فارغ التحصیل در PDE های بیضوی یا مدل سازی آزمایش های فیزیکی باشد.

Since the first experimental achievement of Bose–Einstein condensates (BEC) in 1995 and the award of the Nobel Prize for Physics in 2001, the properties of these gaseous quantum fluids have been the focus of international interest in physics. This monograph is dedicated to the mathematical modelling of some specific experiments which display vortices and to a rigorous analysis of features emerging experimentally.

In contrast to a classical fluid, a quantum fluid such as a Bose–Einstein condensate can rotate only through the nucleation of quantized vortices beyond some critical velocity. There are two interesting regimes: one close to the critical velocity, where there is only one vortex that has a very special shape; and another one at high rotation values, for which a dense lattice is observed.

One of the key features related to superfluidity is the existence of these vortices. We address this issue mathematically and derive information on their shape, number, and location. In the dilute limit of these experiments, the condensate is well described by a mean field theory and a macroscopic wave function solving the so-called Gross–Pitaevskii equation. The mathematical tools employed are energy estimates, Gamma convergence, and homogenization techniques. We prove existence of solutions that have properties consistent with the experimental observations. Open problems related to recent experiments are presented.

The work can serve as a reference for mathematical researchers and theoretical physicists interested in superfluidity and quantum fluids, and can also complement a graduate seminar in elliptic PDEs or modelling of physical experiments.