Vorlesungen über Zahlentheorie

Vorwort zur zweiten Auflage
Vorwort zur ersten Auflage
Inhaltsverzeichnis
Erster Abschnitt. Grundlagen
§1. Primzerlegung
1. Natürliche, ganze und rationale Zahlen
2. Elementare Teilbarkeitslehre
3. Die Primzahlen
4. Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie
5. Ausbau des Fundamentalsatzes
6. Irrationalität der n-ten Wurzeln ganzer Zahlen
§2. Größter gemeinsamer Teiler
1. Kriterium für Teilbarkeit und Primteiler
2. Definition des größten gemeinsamen Teilers
3. Definition des kleinsten gemeinsamen Vielfachen
4. Rechenregeln für größte gemeinsame Teiler und kleinste gemeinsame Vielfache
5. Teilerfremdheit und paarweise Teilerfremdheit
6. Reduzierte Bruchdarstellung, Hauptnennerdarstellung
7. Hauptsatz über den größten gemeinsamen Teiler
8. Beweis des Hauptsatzes als Hauptsatz über Ideale aus ganzen Zahlen
9. Der Euklidische Algorithmus
10. Anderer Beweis des Fundamentalsatzes der elementaren Zahlentheorie
§3. Vollkommene Zahlen, Mersennesche und Fermatsche Primzahlen
1. Definition der vollkommenen Zahlen
2. Produktformel für die Teilersumme
3. Hinreichende Bedingung für gerade vollkommene Zahlen: Satz von Euklid
4. Notwendige Bedingung für gerade vollkommene Zahlen: Satz von Euler
5. Die Mersenneschen Primzahlen
6. Ungerade vollkommene Zahlen
7. Die Fermatschen Primzahlen
8. Zusammenstellung der noch offenen Fragen
§4. Kongruenz, Restklassen
1. Definition der Kongruenz und der Restklassen
2. Der Restklassenring
3. Division im Restklassenring
4. Die prime Restklassengruppe
5. Der kleine Fermatsche Satz
6. Summenformel für die Eulersche Funktion
7. Die Möbiusschen Umkehrformeln
8. Produktformel für die Eulersche Funktion
9. Simultane Kongruenzen, direkte Summenzerlegung des Restklassenrings
10. Kongruenz für gebrochene Zahlen
11. Der Restklassenkörper nach einer Primzahl
12. Additive Darstellung der Restklassen nach einer Primzahlpotenz
13. Periodizität der m-adischen Bruchentwicklung für rationale Zahlen
§5. Die Struktur der primen Restklassengruppen
1. Zurückführung auf Primzahlpotenzen
2. Der Fall einer Primzahl
3. Zur Bestimmung primitiver Wurzeln, Artinsehe Vermutung
4. Zyklische Verschiebung der Periode in der m-adischen Bruchentwicklung
5. Hilfssätze über Kongruenzen nach einer Primzahl potenz
6. Der Fall einer ungeraden Primzahlpotenz
7. Der Fall einer Potenz der Primzahl 2
Zweiter Abschnitt. Quadratische Reste
§6. Definition, Reduktion, Kriterien
1. Definition der quadratischen Reste
2. Reduktion auf Primzahlpotenzmoduln
3. Reduktion auf ungerade Primzahlmoduln
4. Erstes Kriterium: Legendresches Symbol
5. Zweites Kriterium: Eulersches Kriterium
6. Drittes Kriterium: Gaußsches Lemma
§ 7. Das quadratische Reziprozitätsgesetz: Elementarer Beweis
1. Grundfrage, Reduktion auf Primzahlen
2. Die heiden Ergänzungssätze
3. Das allgemeine Reziprozitätsgesetz
4. Das Legendresche Symbol als Funktion seines Nenners
5. Der Führer des Legendreschen Symbols als Funktion seines Nenners
§ 8. Das quadratische Reziprozitätsgesetz: Beweis mit Gaußsehen Summen
1. Einheitswurzeln von Primzahlordnung
2. Gaußsehe Summen
3. Beweis des Reziprozitätsgesetzes
4. Unterbauung des Beweises durch Kongruenztheorie im Einheitswurzelbereich
5. Beweis des zweiten Ergänzungssatzes
§ 9. Die Jacobische Verallgemeinerung
1. Definition des Jacobischen Symbols
2. Das J acobische Symbol als Funktion seines Zählers
3. Ergänzungssätze und allgemeines Reziprozitätsgesetz
4. Rekursionsverfahren zur Bestimmung des Jacobischen Symbols
5. Das Jacobische Symbol als Funktion seines Nenners
6. Das Kroneckersehe Symbol
§ 10. Verteilungsfragen über quadratische Reste nach einer Primzahl
1. Lösungszahl quadratischer Kongruenzen
2. Sequenzen mit vorgeschriebenen Restcharakteren
3. Wahrscheinlichkeitstheoretische Deutung. Überblick über die Ergebnisse
4. Fall der Polynome zweiten Grades
5. Anwendung auf zweigliedrige Sequenzen
6. Fall eines speziellen Polynoms dritten Grades
7. Anwendung auf dreigliedrige Sequenzen
8. Zerlegung der Primzahlen p ≡ 1 mod. 4 in zwei Quadrate
9. Analogon für die Primzahlen p ≡ 1. mod. 3
Dritter Abschnitt. Der Dirichletsche Primzahlsatz
§11. Elementare Sonderfälle
1. Folgerungen aus der Theorie der quadratischen Reste
2. Das Kreisteilungspolynom
3. Der Fall der Einsklasse
4. Der Fall der negativen Einsklasse
§12. Die Methode von Dirichlet
1. Der Eulersche Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlmenge
2. Der Dirichletsche Beweisansatz für die Moduln 3 und 4
3. Der Dirichletsche Beweisansatz für den allgemeinen Fall
4. Die Zetareihe und die Dirichletsche Wendung des Eulerschen Beweises
5. Einiges über den Primzahlsatz
§13. Die Charaktere endlicher abelscher Gruppen, Restklassencharaktere
1. Definition und Existenz der Charaktere
2. Charakterrelationen
3. Das Dualitätsprinzip
4. Charaktere und Untergruppen
5. Restklassencharaktere
6. Führer, eigentliche Charaktere
7. Gerade und ungerade Charaktere
§14. Der Beweis von Dirichlet
1. Die L-Reihen
2. Isolierung der Primzahlmengen in den einzelnen primen Restklassen
3. Grenzverhalten der L-Reihen
4. Dirichletsche Dichte und natürliche Dichte
§15. Das Nichtverschwinden der L-Reihen
1. Produkte aus L-Reihen
2. Elementar-analytischer Beweis für nicht-quadratische Charaktere
3. Elementar-analytischer Beweis für quadratische Charaktere
4. Die funktionen theoretische Beweismethode
5. Die algebraisch-zahlentheoretische Beweismethode
A. Additive Arithmetik
B. Multiplikative Arithmetik
6. Elementar-arithmetische Beweise des Dirichletschen Primzahlsatzes
Vierter Abschnitt. Quadratische Zahlkörper
§16. Elementare Teilbarkeitslehre
1. Algebraische Grundlagen
2. Geometrische Veranschaulichung
3. Ganze Zahlen, Diskriminante
4. Einheiten
5. Berechnung der Grundeinheit
A. Algebraische Grundlagen der Kettenbruchentwicklung
B. Kettenbruchentwicklung reell-quadratischer Irrationalzahlen
C. Anwendung auf die Berechnung der Grundeinheit
D. Kettenbruchentwicklung reiner Quadratwurzeln
6. Quadratische Zahlkörper mit eindeutiger Primzahlzerlegung
A. Imaginärer Fall: d < 0
B. Reeller Fall: d > 0
§17. Divisorentheorie
1. Struktur des Restklassenrings nach einer Primzahl
2. Teilbarkeit und Kongruenz für Primdivisorpotenzen
3. Die Hauptsätze der Arithmetik
4. Kongruenz, Restklassen, Ideale
5. Endlichkeit der Klassenzahl
Erster Endlichkeitsbeweis
Der Minkowskische Gitterpunktsatz
Zweiter Endlichkeitsbeweis
§ 18. Bestimmung der Klassenzahl
1. Die Grenzformel
2. Summation der L-Reihen
3. Die allgemeine Klassenzahlformel
4. Die quadratische Klassenzahlformel
A. Positivität
B. Ganzrationalität
a) Imaginär-quadratische Zahlkörper (d < 0)
b) Reell-quadratische Zahlkörper (d > 0)
5. Rationale Gestalt der Klassenzahlformel für positive Primzahl diskriminanten
§19. Quadratische Zahlkörper und quadratisches Reziprozitätsgesetz
1. Quadratische Zahlkörper als Klassenkörper
2. Ausblick auf die allgemeine Klassenkörpertheorie
3. Beweis des Reziprozitätsgesetzes durch Einbettung in Einheitswurzelkörper
4. Rein-quadratischer Beweis des Reziprozitätsgesetzes
§ 20. Systematische Theorie der Gaußschen Summen
1. Allgemeine Definition, Reduktionen
2. Komponentenzerlegung, Betragformel
3. Begriffliche Bedeutung der eigentlichen Gaußschen Summen
4. Gaußsehe Summen und Charaktersummen für einen ungeraden Primzahlmodul
a. Biquadratische Charaktere (k = 4)
b. Kubische Charaktere (k = 3)
5. Vorzeichenbestimmung für quadratische Charaktere
6. Die Kummersche Vermutung für kubische Charaktere nach einem Primzahlmodul
7. Analoga für bikubische und biquadratische Charaktere
Namenverzeichnis
Sachverzeichnis