Vorlesung über Differential- und Integralrechnung 1861/62

§ 1. ارائه مساحت عددی ما می توانیم هر عدد کامل را به صورت گرافیکی یا هندسی نشان دهیم. برای مثال، یک خط با هر طولی را فرض کنید، و روی آن نقطه ای o. بنابراین این قطعه نشان دهنده شماره یک است. اگر بخواهیم عدد 2 را به صورت هندسی نشان دهیم، می دانیم که 2 = 1 + 1. بنابراین ما باید واحد را دو بار از نقطه صفر یا دوباره از 1 رسم کنیم و تصویر هندسی عدد 2 را بدست آوریم. برای بدست آوردن تصویر عدد 3 می توانیم واحد طول خود را سه بار از صفر رسم کنیم. به همین ترتیب، ما می توانیم 4،5،6،7،8 ... bis را تجسم کنیم. از طرف دیگر، اگر بخواهیم یک عدد کسری را به صورت هندسی نشان دهیم، برای مثال t، نمی‌توانیم این کار را با واحدهای طول 7 3 3 خود انجام دهیم، زیرا 4 = 14 ' و 4 اندازه کوچکتر است. از 1. بنابراین باید طول خود را در قسمت های کوچکتر به چهار قسمت تقسیم کنیم. سپس ما فقط می توانیم 4 را به صورت هندسی نشان دهیم.

§ 1. VORSTELLUNG DES ZAHLENGEBIETES Wir konnen jede ganze Zahl bildlich oder geometrisch darstellen. Nehmen wir zum Beispiel eine Linie von beliebiger Lange an, und auf derselben einen Punkt o. So konnen wir die Zahl eins so darstellen, indem wir eine beliebige konstante Lange auf dieser vom Nullpunkt aus nach rechts auftragen. Dieses Stuck reprasen­ tirt uns also die Zahl eins. Wollen wir die Zahl 2 geometrisch darstellen, so wissen wir, dass 2 = 1 + 1 ist. Wir haben also nur die Einheit zweimal vom Nullpunkt aus aufzutragen, oder von 1 aus noch einmal und erhalten das geometrische Bild der Zahl 2 . Urn das Bild der Zahl 3 zu erhalten, konnen wir unsere Langeneinheit dreimal vom Nullpunkt aus auftragen. Ebenso k- nen wir 4,5,6,7,8 ... bis bildlich darstellen. Wollen wir hingegen eine gebrochene Zahl geometrisch darstellen, zum Beispiel t, so waren wir dies mit unsern Langeneinheiten 7 3 3 nicht imstande, denn 4 = 14 ' und 4 ist eine Grosse, die kleiner ist als 1. Wir mussen daher unsere Lange in noch klei­ nere Theile eintheilen und zwar in Viertel. Dann sind wir erst 7 imstande, 4 geometrisch darzustellen.