Vitushkin’s Conjecture for Removable Sets

حدس ویتوشکین، یک مورد خاص از مسئله پینلو، بیان می‌کند که یک زیرمجموعه فشرده از صفحه مختلط با اندازه‌گیری خطی محدود هاسدورف برای توابع تحلیلی محدود قابل جابجایی است اگر و تنها در صورتی که هر منحنی قابل اصلاح را در مجموعه‌ای از اندازه‌گیری طول قوس صفر قطع کند. فصل‌های 6-8 این متن با دقت نوشته شده، دستاورد عمده‌ای از تحلیل پیچیده مدرن را ارائه می‌کند، حل‌الثبتی این حدس. چهار نفر از پنج ریاضیدانی که کارشان حدس ویتوشکین را حل کرد، برنده جایزه معتبر سالم در تحلیل شدند. فصل‌های 1 تا 5 این کتاب، مطالب پیش‌زمینه مهمی در مورد قابلیت جابجایی، ظرفیت تحلیلی، اندازه‌گیری هاسدورف، اندازه‌گیری طول قوس، و دوگانگی گارابدی ارائه می‌کند که برای بسیاری از تحلیلگران با علایق مستقل از حدس ویتوشکین جذاب خواهد بود. فصل چهارم شامل اثبات حدس دنجوی است که از انحنای ملنیکوف استفاده می کند. پس‌اسکریپت مختصری درباره قضیه عمیق تولسا و ارتباط آن با فراتر رفتن از حدس ویتوشکین گزارش می‌دهد. اگرچه نماد استاندارد در سراسر کتاب استفاده شده است، برای راحتی خواننده یک واژه نامه نماد در پشت کتاب وجود دارد. این متن را می توان برای یک دوره موضوعات یا سمینار در تحلیل پیچیده استفاده کرد. برای درک آن، خواننده باید درک محکمی از تحلیل واقعی و پیچیده اولیه داشته باشد.

Vitushkin's conjecture, a special case of Painlevé's problem, states that a compact subset of the complex plane with finite linear Hausdorff measure is removable for bounded analytic functions if and only if it intersects every rectifiable curve in a set of zero arclength measure. Chapters 6-8 of this carefully written text present a major recent accomplishment of modern complex analysis, the affirmative resolution of this conjecture. Four of the five mathematicians whose work solved Vitushkin's conjecture have won the prestigious Salem Prize in analysis. Chapters 1-5 of this book provide important background material on removability, analytic capacity, Hausdorff measure, arclength measure, and Garabedian duality that will appeal to many analysts with interests independent of Vitushkin's conjecture. The fourth chapter contains a proof of Denjoy's conjecture that employs Melnikov curvature. A brief postscript reports on a deep theorem of Tolsa and its relevance to going beyond Vitushkin's conjecture. Although standard notation is used throughout, there is a symbol glossary at the back of the book for the reader's convenience. This text can be used for a topics course or seminar in complex analysis. To understand it, the reader should have a firm grasp of basic real and complex analysis.