Vektorbündel: Vom Möbius-Bündel bis zum J-Homomorphismus

بسته‌های برداری ترکیبی جذاب از جبر و توپولوژی را نشان می‌دهند. معروف‌ترین نمونه‌ها، نوار موبیوس و دسته مماس، قبلاً دو جنبه اصلی را نشان می‌دهند.

از یک سو، بسته‌های برداری اطلاعاتی در مورد شکل یک فضا ارائه می‌دهند - نوار موبیوس وجود یک \"سوراخ\" را نشان می‌دهد - از طرف دیگر، اجسام هندسی مانند منیفولدها را می‌توان با بسته‌های برداری خطی کرد. با توجه به این نزدیکی به هندسه، نظریه دسته برداری نه تنها کاربردهای متعددی دارد، به عنوان مثال می توان تنها با چند پیش نیاز به حل مسئله جبر تقسیم پیش رفت، بلکه بخشی از زبان اصلی در بسیاری از زمینه های ریاضیات است. . متن با شرح مفصلی از اصول اولیه، تنها بر اساس چند پیش نیاز آغاز می شود. او سپس از طریق مسئله تقاطع، که به عنوان موضوع اصلی در نظر گرفته می‌شود، به بحث اشتقاق و پس‌زمینه قضیه میدان برداری و قضیه مربوطه برای بسته‌های پایدار روی کره‌ها می‌پردازد. این برای هر کسی که می‌خواهد ایده‌ها و تکنیک‌های انتزاعی توپولوژی جبری را در موقعیت‌های بسیار مشخص امتحان کند، بیاموزد یا به کار ببرد، در نظر گرفته شده است.

Vektorbündel stellen eine faszinierende Verbindung von Algebra und Topologie dar. Die bekanntesten Beispiele, das Möbiusband und das Tangentialbündel, veranschaulichen schon unmittelbar zwei Hauptaspekte.

Einmal geben Vektorbündel Hinweise auf die Gestalt eines Raumes - so deutet ein Möbiusband auf das Vorhandensein eines "Loches" hin -, andererseits lassen sich geometrische Objekte wie Mannigfaltigkeiten durch Vektorbündel linearisieren. Durch diese Nähe zur Geometrie hat die Vektorbündeltheorie nicht nur zahlreiche Anwendungen, so kann man beispielsweise schon mit geringen Voraussetzungen bis zur Lösung des Divisionsalgebrenproblems vordringen, sondern sie ist auch in vielen Gebieten der Mathematik Teil der grundlegenden Sprache. Der Text beginnt mit einer ausführlichen nur auf geringe Voraussetzungen aufbauenden Darstellung der Grundlagen. Er führt dann über das als zentrales Thema behandelte Schnittproblem bis zu einer Herleitung und Hintergrunddiskussion des Vektorfeldsatzes und des entsprechenden Satzes für stabile Bündel über Sphären. Er ist gedacht für alle, die die abstrakten Ideen und Techniken der algebraischen Topologie an ganz konkreten Situationen erproben, erlernen oder anwenden möchten.