Variable Lebesgue Spaces and Hyperbolic Systems

این کتاب دانشجویان و محققین فارغ التحصیل را هدف قرار می دهد که می خواهند در مورد فضاهای Lebesgue و راه حل های معادلات هذلولی بیاموزند. این به دو بخش تقسیم می‌شود.

قسمت 1 مقدمه‌ای بر تئوری فضاهای Lebesgue متغیر ارائه می‌کند: فضاهای تابع Banach مانند فضاهای Lebesgue کلاسیک اما با نما ثابت با یک تابع توان جایگزین شده است. این فضاها به طور طبیعی از مطالعه معادلات دیفرانسیل جزئی و انتگرال های متغیر با شرایط رشد غیر استاندارد به وجود می آیند. آنها برای سیالات الکترورئولوژیکی در فیزیک و بازسازی تصویر کاربرد دارند. پس از مقدمه‌ای که تاریخچه و انگیزه را ترسیم می‌کند، نویسندگان ویژگی‌های فضای تابع فضاهای متغیر Lebesgue را توسعه می‌دهند. اثبات ها بر اساس نظریه کلاسیک مدل شده اند. پس از آن، عملگر حداکثر هاردی-لیتل وود مورد بحث قرار می گیرد. در فصل آخر، عملگرهای دیگری از تحلیل هارمونیک، مانند عملگرهای کانولوشن و انتگرال های منفرد در نظر گرفته شده است. متن عمدتاً مستقل است و فقط برخی از شواهد فنی بیشتر و مطالب پس‌زمینه حذف شده است.

بخش 2 نمای کلی از خواص مجانبی راه حل های معادلات و سیستم های هذلولی با ضرایب وابسته به زمان را ارائه می دهد. ابتدا، یک نمای کلی از نتایج شناخته شده برای معادلات هذلولی اسکالر کلی مرتبه بالاتر با ضرایب ثابت ارائه شده است. سپس سیستم های به شدت هذلولی با ضرایب وابسته به زمان در نظر گرفته می شوند. یکی از ویژگی های روش توصیف شده این است که نوسانات در ضرایب مجاز است. انتشار دهنده های مسائل کوشی با کار در کلاس های نماد زمان-فرکانس مناسب به عنوان انتگرال های نوسانی ساخته می شوند. تعدادی مثال در نظر گرفته شده و وضوح نتایج مورد بحث قرار گرفته است. یک درمان مثالی از اصطلاحات اتلاف دهنده نشان می دهد که چگونه عبارات مرتبه پایین موثر می توانند خواص مجانبی را تغییر دهند و بنابراین توضیح را تکمیل می کنند.

This book targets graduate students and researchers who want to learn about Lebesgue spaces and solutions to hyperbolic equations. It is divided into two parts.

Part 1 provides an introduction to the theory of variable Lebesgue spaces: Banach function spaces like the classical Lebesgue spaces but with the constant exponent replaced by an exponent function. These spaces arise naturally from the study of partial differential equations and variational integrals with non-standard growth conditions. They have applications to electrorheological fluids in physics and to image reconstruction. After an introduction that sketches history and motivation, the authors develop the function space properties of variable Lebesgue spaces; proofs are modeled on the classical theory. Subsequently, the Hardy-Littlewood maximal operator is discussed. In the last chapter, other operators from harmonic analysis are considered, such as convolution operators and singular integrals. The text is mostly self-contained, with only some more technical proofs and background material omitted.

Part 2 gives an overview of the asymptotic properties of solutions to hyperbolic equations and systems with time-dependent coefficients. First, an overview of known results is given for general scalar hyperbolic equations of higher order with constant coefficients. Then strongly hyperbolic systems with time-dependent coefficients are considered. A feature of the described approach is that oscillations in coefficients are allowed. Propagators for the Cauchy problems are constructed as oscillatory integrals by working in appropriate time-frequency symbol classes. A number of examples is considered and the sharpness of results is discussed. An exemplary treatment of dissipative terms shows how effective lower order terms can change asymptotic properties and thus complements the exposition.