Vanishing and Finiteness Results in Geometric Analysis: A Generalization of the Bochner Technique

این کتاب نتایج بسیار جدیدی را ارائه می‌کند که شامل استفاده گسترده از ابزارهای تحلیلی در مطالعه خواص هندسی و توپولوژیکی منیفولدهای کامل ریمانی است. این به تفصیل گسترش تکنیک بوشنر را به محیط غیر فشرده تجزیه و تحلیل می‌کند، شرایطی را ایجاد می‌کند که تضمین می‌کند که راه‌حل‌های معادلات دیفرانسیل هندسی مهم یا بی‌اهمیت هستند (نتایج ناپدید می‌شوند) یا باعث ایجاد فضاهای برداری با ابعاد محدود (نتایج تناهی) می‌شوند. این کتاب طیف وسیعی از روش‌ها را از نظریه طیفی و ویژگی‌های کیفی راه‌حل‌های PDE تا قضایای مقایسه در هندسه ریمانی و نظریه پتانسیل توسعه می‌دهد.

همه ابزارهای مورد نیاز با جزئیات، اغلب با رویکردی اصلی، توضیح داده شده‌اند. برخی از کاربردهای ارائه شده مربوط به توپولوژی در بینهایت منیفولدها، همولوژی L^p، صلبیت متریک منیفولدهای با طیف مثبت و قضایای ساختار برای منیفولدهای کاهلر است.

این کتاب اساساً می باشد. مستقل است و در یک ارائه اصلی، مطالب پیش زمینه لازم را که به راحتی در قالب کتاب در دسترس نیست، فراهم می کند.

This book presents very recent results involving an extensive use of analytical tools in the study of geometrical and topological properties of complete Riemannian manifolds. It analyzes in detail an extension of the Bochner technique to the non compact setting, yielding conditions which ensure that solutions of geometrically significant differential equations either are trivial (vanishing results) or give rise to finite dimensional vector spaces (finiteness results). The book develops a range of methods from spectral theory and qualitative properties of solutions of PDEs to comparison theorems in Riemannian geometry and potential theory.

All needed tools are described in detail, often with an original approach. Some of the applications presented concern the topology at infinity of submanifolds, L^p cohomology, metric rigidity of manifolds with positive spectrum, and structure theorems for Kähler manifolds.

The book is essentially self-contained and supplies in an original presentation the necessary background material not easily available in book form.