Using Algebraic Geometry

در سال‌های اخیر، کشف الگوریتم‌های جدید برای برخورد با معادلات چند جمله‌ای، همراه با اجرای آن‌ها در رایانه‌های ارزان قیمت، انقلابی جزئی در مطالعه و عمل هندسه جبری ایجاد کرده است. این روش‌های الگوریتمی باعث ایجاد برخی کاربردهای جدید هیجان‌انگیز از هندسه جبری شده‌اند. این کتاب کاربردهای بسیاری از هندسه جبری را نشان می‌دهد و برخی از کاربردهای اخیر پایه‌ها و نتایج گروبنر را برجسته می‌کند.

این کتاب برای افراد غیرمتخصص و برای خوانندگان با طیف متنوع نوشته شده است. از پس زمینه ها این فرض بر دانش مطالبی است که در یک دوره کارشناسی استاندارد در جبر انتزاعی پوشش داده شده است، و می تواند به آشنایی قبلی با مبانی گروبنر کمک کند. این کتاب فرض نمی‌کند که خواننده با مفاهیم پیشرفته‌تری مانند ماژول‌ها آشنا باشد.

برای نسخه جدید، نویسندگان یک بحث یکپارچه درباره نحوه استفاده از ماتریس‌ها برای مشخص کردن نظم‌های تک‌جمعی اضافه کرده‌اند. ارائه اصلاح شده از الگوریتم فرم معمولی Mora. دو بخش در مورد طرفداران گروبنر از یک ایده آل و الگوریتم تبدیل پایه Gröbner Walk بحث می کند. و یک فصل جدید در تئوری دامنه های نظم، کدهای مرتبط، و الگوریتم رمزگشایی Berlekamp-Massey-Sakata. آنها همچنین منابع را به روز کرده اند، برخی از اثبات ها را بهبود بخشیده اند، و اشتباهات تایپی را تصحیح کرده اند.

دیوید کاکس، استاد ریاضیات در کالج امهرست است. جان لیتل استاد ریاضیات در کالج صلیب مقدس است. Donal O’Shea استاد ریاضیات الیزابت تی کنان و رئیس دانشکده کالج Mt. Holyoke است. این نویسندگان همچنین کتاب فوق العاده موفق، ایده آل ها، انواع، و الگوریتم ها را نوشتند.

In recent years, the discovery of new algorithms for dealing with polynomial equations, coupled with their implementation on fast inexpensive computers, has sparked a minor revolution in the study and practice of algebraic geometry. These algorithmic methods have also given rise to some exciting new applications of algebraic geometry. This book illustrates the many uses of algebraic geometry, highlighting some of the more recent applications of Gröbner bases and resultants.

The book is written for nonspecialists and for readers with a diverse range of backgrounds. It assumes knowledge of the material covered in a standard undergraduate course in abstract algebra, and it would help to have some previous exposure to Gröbner bases. The book does not assume the reader is familiar with more advanced concepts such as modules.

For the new edition, the authors have added a unified discussion of how matrices can be used to specify monomial orders; a revised presentation of the Mora normal form algorithm; two sections discussing the Gröbner fan of an ideal and the Gröbner Walk basis conversion algorithm; and a new chapter on the theory of order domains, associated codes, and the Berlekamp-Massey-Sakata decoding algorithm. They have also updated the references, improved some of the proofs, and corrected typographical errors.

David Cox is Professor of Mathematics at Amherst College. John Little is Professor of Mathematics at College of the Holy Cross. Donal O’Shea is the Elizabeth T. Kennan Professor of Mathematics and Dean of Faculty at Mt. Holyoke College. These authors also co-wrote the immensely successful book, Ideals, Varieties, and Algorithms.