Topological Methods for Variational Problems with Symmetries

تقارن تأثیر زیادی بر تعداد و شکل راه‌حل‌های مسائل متغیر دارد. برای مثال، در جستجوی راه‌حل‌های تناوبی سیستم‌های همیلتونی یا معادله موج غیرخطی، این امر مشاهده شده است. وقتی کسی به معادلات بیضوی در حوزه های متقارن یا در نیمه جریان های مربوطه علاقه مند است. و زمانی که فرد به دنبال راه حل های \"ویژه\" برای این مشکلات است. این کتاب با نظریه لوسترنیک-شنیرلمن و نظریه مورس-کانلی برای تابع های ثابت گروهی سروکار دارد. این روش های توپولوژیکی با محاسبات جدید مقوله معادل Lusternik-Schnirelmann و نسخه هایی از قضیه Borsuk-Ulam برای کلاس های بسیار کلی از گروه های تقارن به تفصیل توسعه یافته اند. تئوری مورس کانلی برای مشکلات دوشاخه‌سازی، به‌ویژه برای انشعاب حالت‌های ثابت و مدارهای هترو کلینیک جریان‌های متقارن O(3) به کار می‌رود. و وجود راه حل های تناوبی نزدیک به تعادل سیستم های همیلتونی متقارن. آشنایی با تئوری حداقل حداکثر و توپولوژی پایه جبری فرض شده است.

Symmetry has a strong impact on the number and shape of solutions to variational problems. This has been observed, for instance, in the search for periodic solutions of Hamiltonian systems or of the nonlinear wave equation; when one is interested in elliptic equations on symmetric domains or in the corresponding semiflows; and when one is looking for "special" solutions of these problems. This book is concerned with Lusternik-Schnirelmann theory and Morse-Conley theory for group invariant functionals. These topological methods are developed in detail with new calculations of the equivariant Lusternik-Schnirelmann category and versions of the Borsuk-Ulam theorem for very general classes of symmetry groups. The Morse-Conley theory is applied to bifurcation problems, in particular to the bifurcation of steady states and hetero-clinic orbits of O(3)-symmetric flows; and to the existence of periodic solutions nearequilibria of symmetric Hamiltonian systems. Some familiarity with the usualminimax theory and basic algebraic topology is assumed.