Uniqueness Theorems in Linear Elasticity

نتیجه کلاسیک برای منحصر به فرد بودن در تئوری کشش به دلیل کیرشهوف است. بیان می کند که مسئله مقدار مرزی مخلوط استاندارد برای یک ماده الاستیک خطی همگن همگن در حالت تعادل و اشغال یک منطقه سه بعدی محدود از فضا حداکثر دارای یک راه حل به معنای کلاسیک است، مشروط بر اینکه مدول های Lame و برشی به ترتیب A و J1، از نابرابری های (3 A + 2 J1) > 0 و J1>O پیروی کنید. در الاستودینامیک خطی، نتیجه مشابه، با توجه به نیومن، این است که مسئله مقدار مرزی مخلوط اولیه حداکثر دارای یک راه حل است، مشروط بر اینکه مدول های الاستیک مجموعه ای از نابرابری ها را برآورده کنند که در قضیه کیرشهوف وجود دارد. اکثر کتاب های درسی استاندارد در مورد تئوری خطی کشش فقط به این دو معیار کلاسیک برای منحصر به فرد بودن اشاره می کنند و به طور کلی از ادبیات فراوانی که از زمان انتشارات اصلی کیرشهوف ظاهر شده است غفلت می کنند. برای رفع این کمبود، به نظر می رسد که تلاش برای توصیف منسجمی از مشارکت های مختلف انجام شده در مطالعه منحصر به فرد بودن در نظریه کشش، به این امید که چنین توضیحی دسترسی راحت به ادبیات را فراهم کند و در عین حال نشان دهد که چه پیشرفت هایی حاصل شده است، مناسب به نظر می رسد. و چه مشکلاتی هنوز در انتظار حل هستند. به طور طبیعی، ادامه اعلام نتایج جدید، هرگونه تلاش برای ارائه یک ارزیابی کامل را خنثی می کند. به غیر از خود نظریه کشش خطی، چندین حوزه دیگر وجود دارد که منحصر به فرد بودن الاستیک در آنها قابل توجه است.

The classical result for uniqueness in elasticity theory is due to Kirchhoff. It states that the standard mixed boundary value problem for a homogeneous isotropic linear elastic material in equilibrium and occupying a bounded three-dimensional region of space possesses at most one solution in the classical sense, provided the Lame and shear moduli, A and J1 respectively, obey the inequalities (3 A + 2 J1) > 0 and J1>O. In linear elastodynamics the analogous result, due to Neumann, is that the initial-mixed boundary value problem possesses at most one solution provided the elastic moduli satisfy the same set of inequalities as in Kirchhoffs theorem. Most standard textbooks on the linear theory of elasticity mention only these two classical criteria for uniqueness and neglect altogether the abundant literature which has appeared since the original publications of Kirchhoff. To remedy this deficiency it seems appropriate to attempt a coherent description ofthe various contributions made to the study of uniqueness in elasticity theory in the hope that such an exposition will provide a convenient access to the literature while at the same time indicating what progress has been made and what problems still await solution. Naturally, the continuing announcement of new results thwarts any attempt to provide a complete assessment. Apart from linear elasticity theory itself, there are several other areas where elastic uniqueness is significant.