Uniformisation des surfaces de Riemann: retour sur un théorème centenaire

Sommaire......Page 5
Les auteurs......Page 8
Avant-propos......Page 9
Introduction générale - Le théorème d’uniformisation......Page 13
PARTIE A - Les surfaces de Riemann......Page 33
 I. Travaux précurseurs......Page 35
  I.1. À propos du développement des nombres complexes......Page 36
  I.2. La cartographie......Page 37
  I.3. Un survol du développement des fonctions elliptiques......Page 50
 II. Riemann......Page 59
  II.1. Préliminaires : fonctions holomorphes et surfaces de Riemann......Page 60
  II.2. Principe de Dirichlet et conséquences......Page 80
  II.3. Variété jacobienne et espaces de modules......Page 101
 III. Surfaces de Riemann et surfaces riemanniennes......Page 113
  III.1. Felix Klein et l’illustration de la théorie de Riemann......Page 114
  III.2. Retour moderne à la théorie de Riemann......Page 126
 IV. Le travail de Schwarz......Page 137
  IV.1. Structure conforme sur la sphère......Page 138
  IV.2. Problèmes explicites de représentation conforme......Page 144
Intermezzo......Page 155
 V. La quartique de Klein......Page 157
  V.1. Formes modulaires, invariant j......Page 160
  V.2. Comment Klein paramètre sa quartique......Page 169
PARTIE B - Méthode de continuité......Page 183
  VI.1. Groupes fuchsiens, polygone fondamental et pavage hyperbolique......Page 195
  VI.2. Exemples......Page 214
  VI.3. Algébrisation d’après Poincaré......Page 218
  VI.4. Appendice......Page 226
 VII. La « méthode de continuité »......Page 229
  VII.1. Préliminaires......Page 230
  VII.2. Représentations des groupes de surfaces......Page 232
  VII.3. Représentations réelles fidèles et discrètes......Page 240
  VII.4. Preuve de l’uniformisation......Page 245
  VIII.1. Préliminaires : quelques aspects des équations différentielles algébriques du premier ordre......Page 249
  VIII.2. L’approche de Poincaré......Page 258
  VIII.3. Équations différentielles linéaires d’ordre 2, équations normales et équations uniformisantes......Page 261
  VIII.4. L’ensemble des équations normales sur une courbe fixée......Page 272
  VIII.5. Monodromie des équations normales et uniformisation des courbes algébriques......Page 278
  IX.1. Théorie de Fuchs locale......Page 289
  IX.2. Équation hypergéométrique de Gauss et liste de Schwarz......Page 294
  IX.3. Exemples de familles d’équations normales......Page 312
  IX.4. Uniformisation des sphères privées de 4 points......Page 319
  IX.5. Postérité......Page 328
Intermezzo......Page 337
 X. L’uniformisation des surfaces et l’équation Δg u = 2e u −ϕ......Page 339
  X.1. L’uniformisation des surfaces et l’équation Δg u = 2e u −ϕ......Page 343
  X.2. Comment Poincaré résout l’équation Δg u = θ e u −ϕ......Page 350
  X.3. Conclusion : uniformisation des surfaces de Riemann algébriques, prescription de courbure et calcul des variations......Page 374
PARTIE C - Vers le théorème d’uniformisation général......Page 379
 XI. L’uniformisation des fonctions......Page 395
  XI.1. Uniformisation des domaines relativement compacts à bords......Page 396
  XI.2. Exhaustion par des domaines relativement compacts simplement connexes......Page 403
  XI.3. Paramétrage par un ouvert simplement connexe du disque......Page 408
  XI.4. Théorème d’Osgood......Page 413
  XI.5. Le problème des ramifications......Page 416
  XII.1. Principe de la preuve......Page 419
  XII.2. Cas où la suite (ck) est bornée......Page 421
  XII.3. Cas où la suite (ck) tend vers l’infini......Page 423
  XIII.1. Stratégie de la preuve......Page 429
  XIII.2. Existence d’une majorante de Green sur l’anneau A......Page 431
  XIII.3. La preuve plus directe de Koebe......Page 442
Épilogue - Le théorème d’uniformisation de 1907 à 2007......Page 447
Appendices......Page 453
 Correspondance entre Klein et Poincaré......Page 455
 Quelques repères historiques......Page 493
Bibliographie......Page 517
Index......Page 541