Torsions of 3-dimensional Manifolds

توپولوژی سه بعدی شامل دو حوزه وسیع است: مطالعه ساختارهای هندسی روی 3 منیفولد و مطالعه ثابت‌های توپولوژیکی 3 منیفولد، گره و غیره. این کتاب متعلق به حوزه دوم است. ما باید تغییر ناپذیری را مطالعه کنیم که حداکثر پیچش آبلی نامیده می‌شود و T نشان داده می‌شود. برای یک منیفولد صاف فشرده (یا تکه‌ای خطی) با هر بعد و به‌طور کلی‌تر، برای یک CW-کمپلکس X محدود دلخواه تعریف می‌شود. پیچش T(X ) عنصری از گسترش مشخصی از حلقه گروه Z[Hl(X)] است. پیچش T را می توان به طور طبیعی در چارچوب نظریه هموتوپی ساده در نظر گرفت. به طور خاص، تحت معادل‌های هموتوپی ساده ثابت است و می‌تواند فضاها و منیفولدهای CW معادل هموتوپی اما غیر همومورف را تشخیص دهد، به عنوان مثال، فضاهای عدسی. پیچش T همچنین می تواند برای تشخیص جهت گیری ها و به اصطلاح ساختارهای اویلر استفاده شود. علاقه ما به پیچش T به دلیل نقش خاصی است که در توپولوژی سه بعدی ایفا می کند. اول از همه، ارتباط نزدیکی با تعدادی از متغیرهای توپولوژیکی اساسی 3 منیفولد دارد. پیچش T(M) یک M 3 منیفولد جهت بسته بر اولین ایده‌آل ابتدایی 7fl (M) و چند جمله‌ای اسکندر 7fl (M) غالب است (تعیین می‌کند). پیچش T(M) ارتباط نزدیکی با حلقه های همومولوژی M با ضرایب Z و ZjrZ (r ;::: 2) دارد. همچنین به فرم پیوند در Tors Hi (M)، به محصولات Massey در cohomology M، و به هنجار Thurston در H2(M) مربوط می شود.

Three-dimensional topology includes two vast domains: the study of geometric structures on 3-manifolds and the study of topological invariants of 3-manifolds, knots, etc. This book belongs to the second domain. We shall study an invariant called the maximal abelian torsion and denoted T. It is defined for a compact smooth (or piecewise-linear) manifold of any dimension and, more generally, for an arbitrary finite CW-complex X. The torsion T(X) is an element of a certain extension of the group ring Z[Hl(X)]. The torsion T can be naturally considered in the framework of simple homotopy theory. In particular, it is invariant under simple homotopy equivalences and can distinguish homotopy equivalent but non­ homeomorphic CW-spaces and manifolds, for instance, lens spaces. The torsion T can be used also to distinguish orientations and so-called Euler structures. Our interest in the torsion T is due to a particular role which it plays in three-dimensional topology. First of all, it is intimately related to a number of fundamental topological invariants of 3-manifolds. The torsion T(M) of a closed oriented 3-manifold M dominates (determines) the first elementary ideal of 7fl (M) and the Alexander polynomial of 7fl (M). The torsion T(M) is closely related to the cohomology rings of M with coefficients in Z and ZjrZ (r ;::: 2). It is also related to the linking form on Tors Hi (M), to the Massey products in the cohomology of M, and to the Thurston norm on H2(M).