Toposes, Triples and Theories

همانطور که از عنوان آن پیداست، این کتاب مقدمه ای است بر سه ایده و ارتباط بین آنها. قبل از اینکه محتوای کتاب را به تفصیل بیان کنیم، هر یک از مفاهیم را به اختصار شرح می دهیم. توضیحات مقدماتی گسترده‌تر از هر مفهوم در مقدمه‌ها و یادداشت‌های فصل‌های 2، 3 و 4 آمده است. توپوس نوع خاصی از مقوله است که با بدیهیات تعریف می‌شود و تقریباً می‌گوید که ساخت‌های خاصی که می‌توان با مجموعه‌ها ساخت، می‌تواند در دسته انجام شود. از این نظر، a topos یک نظریه مجموعه تعمیم یافته است. با این حال، آن را با Grothendieck و Giraud به عنوان انتزاعی از مقوله شیوهای مجموعه در یک فضای توپولوژیکی سرچشمه گرفت. بعداً، خصوصیات لاور و تیرنی یک شناسه کلی‌تر را معرفی کردند که آن را «توپوس ابتدایی» نامیدند (زیرا بدیهیات آنها روی مجموعه‌ها کمیت نمی‌کردند)، و آنها و دیگر ریاضیدانان این ایده را توسعه دادند که نظریه‌ای به معنای منطق ریاضی را می توان به عنوان یک توپوس، شاید پس از یک فرآیند تکمیل در نظر گرفت. مفهوم سه گانه (تحت نام "ساخت استاندارد در کتاب گودمنت در مورد تئوری شیف به منظور محاسبه اطلاعات") cohomology شیف منشا گرفت. سپس پیتر هوبر کشف کرد که تریپل ها بیشتر اطلاعات جفت های الحاقی را می گیرند. بعداً لینتون کشف کرد که سه‌گانه‌ها رویکردی معادل به نظریه‌های معادله لاورک (یا بهتر بگوییم تعمیم‌های بی‌نهایت آن نظریه) ارائه می‌دهند. در نهایت، تریپل ها ابزار بسیار مهمی برای استخراج خواص مختلف توپوزها هستند.

As its title suggests, this book is an introduction to three ideas and the connections between them. Before describing the content of the book in detail, we describe each concept briefly. More extensive introductory descriptions of each concept are in the introductions and notes to Chapters 2, 3 and 4. A topos is a special kind of category defined by axioms saying roughly that certain constructions one can make with sets can be done in the category. In that sense, a topos is a generalized set theory. However, it originated with Grothendieck and Giraud as an abstraction of the of the category of sheaves of sets on a topological space. Later, properties Lawvere and Tierney introduced a more general id~a which they called "elementary topos" (because their axioms did not quantify over sets), and they and other mathematicians developed the idea that a theory in the sense of mathematical logic can be regarded as a topos, perhaps after a process of completion. The concept of triple originated (under the name "standard construc­ in Godement's book on sheaf theory for the purpose of computing tions") sheaf cohomology. Then Peter Huber discovered that triples capture much of the information of adjoint pairs. Later Linton discovered that triples gave an equivalent approach to Lawverc's theory of equational theories (or rather the infinite generalizations of that theory). Finally, triples have turned out to be a very important tool for deriving various properties of toposes.