Topology and Geometry

Front Cover......Page 1
Title Page......Page 4
Copyright Information......Page 5
Preface......Page 6
Acknowledgments......Page 10
Contents......Page 12
1. Metric Spaces......Page 16
2. Topological Spaces......Page 18
3. Subspaces......Page 23
4. Connectivity and Components......Page 25
5. Separation Axioms......Page 27
6. Nets (Moore-Smith Convergence)......Page 29
7. Compactness......Page 33
8. Products......Page 37
9. Metric Spaces Again......Page 40
10. Existence of Real Valued Functions......Page 44
11. Locally Compact Spaces......Page 46
12. Paracompact Spaces......Page 50
13. Quotient Spaces......Page 54
14. Homotopy......Page 59
15. Topological Groups......Page 66
16. Convex Bodies......Page 71
17. The Baire Category Theorem......Page 72
1. The Implicit Function Theorem......Page 78
2. Differentiable Manifolds......Page 83
3. Local Coordinates......Page 86
4. Induced Structures and Examples......Page 87
5. Tangent Vectors and Differentials......Page 91
6. Sard\'s Theorem and Regular Values......Page 95
7. Local Properties of Immersions and Submersions......Page 97
8. Vector Fields and Flows......Page 101
9. Tangent Bundles......Page 103
10. Embedding in Euclidean Space......Page 104
11. Tubular Neighborhoods and Approximations......Page 107
12. Classical Lie Groups......Page 116
13. Fiber Bundles......Page 121
14. Induced Bundles and Whitney Sums......Page 126
15. Transversality......Page 129
16. Thom-Pontryagin Theory......Page 133
1. Homotopy Groups......Page 142
2. The Fundamental Group......Page 147
3. Covering Spaces......Page 153
4. The Lifting Theorem......Page 158
5. The Action of π₁ on the Fiber......Page 161
6. Deck Transformations......Page 162
7. Properly Discontinuous Actions......Page 165
8. Classification of Covering Spaces......Page 169
9. The Seifert-Van Kampen Theorem......Page 173
10. Remarks on SO(3)......Page 179
1. Homology Groups......Page 183
3. The First Homology Group......Page 187
4. Functorial Properties......Page 190
5. Homological Algebra......Page 192
6. Axioms for Homology......Page 197
7. Computation of Degrees......Page 205
8. CW-Complexes......Page 209
9. Conventions for CW-Complexes......Page 213
10. Cellular Homology......Page 215
11. Cellular Maps......Page 222
12. Products of CW-Complexes......Page 226
13. Euler\'s Formula......Page 230
14. Homology of Real Projective Space......Page 232
15. Singular Homology......Page 234
16. The Cross Product......Page 235
17. Subdivision......Page 238
18. The Mayer-Vietoris Sequence......Page 243
19. The Generalized Jordan Curve Theorem......Page 245
20. The Borsuk-Ulam Theorem......Page 255
21. Simplicial Complexes......Page 260
22. Simplicial Maps......Page 265
23. The Lefschetz-Hopf Fixed Point Theorem......Page 268
1. Multilinear Algebra......Page 275
2. Differential Forms......Page 276
3. Integration of Forms......Page 280
4. Stokes\' Theorem......Page 282
5. Relationship to Singular Homology......Page 284
6. More Homological Algebra......Page 286
7. Universal Coefficient Theorems......Page 296
8. Excision and Homotopy......Page 300
9. de Rham\'s Theorem......Page 301
10. The de Rham Theory of CPⁿ......Page 307
11. Hopf\'s Theorem on Maps to Spheres......Page 312
12. Differential Forms on Compact Lie Groups......Page 319
1. The Cross Product and the Kunneth Theorem......Page 330
3. The Cohomology Cross Product......Page 336
4. The Cup Product......Page 341
5. The Cap Product......Page 349
6. Classical Outlook on Duality......Page 353
7. The Orientation Bundle......Page 355
8. Duality Theorems......Page 363
9. Duality on Compact Manifolds with Boundary......Page 370
10. Applications of Duality......Page 374
11. Intersection Theory......Page 381
12. The Euler Class, Lefschetz Numbers, and Vector Fields......Page 393
13. The Gysin Sequence......Page 405
14. Lefschetz Coincidence Theory......Page 408
15. Steenrod Operations......Page 419
16. Construction of the Steenrod Squares......Page 427
17. Stiefel-Whitney Classes......Page 435
18. Plumbing......Page 441
1. Cofibrations......Page 445
2. The Compact-Open Topology......Page 452
3. H-Spaces, H-Groups, and H-Cogroups......Page 456
4. Homotopy Groups......Page 458
5. The Homotopy Sequence of a Pair......Page 460
6. Fiber Spaces......Page 465
7. Free Homotopy......Page 472
8. Classical Groups and Associated Manifolds......Page 478
9. The Homotopy Addition Theorem......Page 484
10. The Hurewicz Theorem......Page 490
11. The Whitehead Theorem......Page 495
12. Eilenberg-Mac Lane Spaces......Page 503
13. Obstruction Theory......Page 512
14. Obstruction Cochains and Vector Bundles......Page 526
App. A. The Additivity Axiom......Page 534
App. B. Background in Set Theory......Page 537
App. C. Critical Values......Page 546
App. D. Direct Limits......Page 549
App. E. Euclidean Neighborhood Retracts......Page 551
Bibliography......Page 556
Index of Symbols......Page 560
Index......Page 564
Back Cover......Page 576