Topological Methods in Algebraic Geometry: Reprint of the 1978 Edition

در سال‌های اخیر روش‌های توپولوژیکی جدید، به‌ویژه تئوری قرقره‌های پایه‌گذاری شده توسط J. LERAY، با موفقیت در هندسه جبری و تئوری توابع چندین متغیر پیچیده به کار گرفته شده است. H. CARTAN و J. -P. SERRE نشان داده است که چگونه قضایای اساسی در منیفولدهای کامل هولومورفیک (منیفولدهای STEIN) می‌توانند از نظر تئوری شیف مولد شوند. این قضایا مستلزم بسیاری از حقایق نظریه تابع هستند زیرا حوزه های هولومورف از نظر هولومورفیک کامل هستند. آنها همچنین می توانند در هندسه جبری اعمال شوند زیرا مکمل یک بخش ابرصفحه یک منیفولد جبری از نظر شکلی کامل است. J. -P. SERRE با این روشها و روشهای دیگر نتایج مهمی در مورد منیفولدهای جبری به دست آورده است. اخیراً بسیاری از نتایج او برای انواع جبری تعریف شده در زمینه ای از ویژگی های دلخواه به اثبات رسیده است. K. KODAIRA و D. C. SPENCER نیز نظریه شیف را در هندسه جبری با موفقیت زیادی به کار برده اند. روش های آنها با روش های SERRE متفاوت است زیرا از تکنیک های هندسه دیفرانسیل (انتگرال هارمونیک و غیره) استفاده می کنند، اما از نظریه منیفولدهای STEIN استفاده نمی کنند. M. F. ATIYAH و W. V. D. HODGE با موفقیت با مسائل مربوط به انتگرال های نوع دوم در منیفولدهای جبری با کمک تئوری شیف برخورد کرده اند. من توانستم با K. KODAIRA و D. C. SPENCER در طول اقامت در موسسه مطالعات پیشرفته در پرینستون از سال 1952 تا 1954 با هم کار کنم.

In recent years new topological methods, especially the theory of sheaves founded by J. LERAY, have been applied successfully to algebraic geometry and to the theory of functions of several complex variables. H. CARTAN and J. -P. SERRE have shown how fundamental theorems on holomorphically complete manifolds (STEIN manifolds) can be for­ mulated in terms of sheaf theory. These theorems imply many facts of function theory because the domains of holomorphy are holomorphically complete. They can also be applied to algebraic geometry because the complement of a hyperplane section of an algebraic manifold is holo­ morphically complete. J. -P. SERRE has obtained important results on algebraic manifolds by these and other methods. Recently many of his results have been proved for algebraic varieties defined over a field of arbitrary characteristic. K. KODAIRA and D. C. SPENCER have also applied sheaf theory to algebraic geometry with great success. Their methods differ from those of SERRE in that they use techniques from differential geometry (harmonic integrals etc. ) but do not make any use of the theory of STEIN manifolds. M. F. ATIYAH and W. V. D. HODGE have dealt successfully with problems on integrals of the second kind on algebraic manifolds with the help of sheaf theory. I was able to work together with K. KODAIRA and D. C. SPENCER during a stay at the Institute for Advanced Study at Princeton from 1952 to 1954.