Topological Groups: Yesterday, Today, Tomorrow

در سال 1900، دیوید هیلبرت پرسید که آیا هر گروه توپولوژیکی اقلیدسی محلی ساختار گروه Lie را می پذیرد؟ این پنجمین سؤال از 23 سؤال معروف او بود که بیشتر خلاقیت ریاضی قرن بیستم را نشان می داد. این نیاز به نیم قرن تلاش چندین نسل از ریاضیدانان برجسته داشت تا اینکه به نتیجه مثبت رسید. این تلاش ها در طول زمان منجر به قضیه پیتر-ویل، قضیه دوگانگی پونتریاگین-وان کامپن برای گروه های آبلی فشرده محلی، و در نهایت حل هیلبرت 5 و نظریه ساختار گروه های فشرده محلی، از طریق کار ترکیبی اندرو گلیسون، کنکیچی شد. ایواساوا، دین مونتگومری و لئون زیپین. برای ارائه هیلبرت 5 به کتاب 2014 \"مسئله پنجم هیلبرت و موضوعات مرتبط\" اثر ترنس تائو برنده مدال فیلدز در سال 2006 و جایزه پیشرفت در ریاضیات در سال 2014 مراجعه کنید.

نمی توان به طور خلاصه غنای نظریه گروه های توپولوژیکی و جهت گیری های بسیاری را که از زمان هیلبرت 5 اتخاذ شد توصیف کرد. یکی از جنبه های نظریه گروه فشرده چندین کتاب در مورد گروه های سودجو وجود دارد، از جمله کتاب هایی که توسط جان اس. ویلسون (1998) و توسط لوئیس ریبس و پاول زالسکی (2012) نوشته شده است. کتاب «تئوری دروغ گروه‌های طرفدار دروغ متصل» در سال 2007 توسط کارل هافمن و سیدنی آ. موریس، نشان می‌دهد که نظریه دروغ چقدر در افشای ساختار گروه‌های دروغ بی‌بعدی قدرتمند است.

شرایط فشردگی در گروه‌های توپولوژیکی، به ویژه شبه فشردگی نمونه آن در بسیاری از مقالات W.W. راحتی، جهت دیگری بوده است که تا به امروز بسیار مثمر ثمر بوده است.

In 1900, David Hilbert asked whether each locally euclidean topological group admits a Lie group structure. This was the fifth of his famous 23 questions which foreshadowed much of the mathematical creativity of the twentieth century. It required half a century of effort by several generations of eminent mathematicians until it was settled in the affirmative. These efforts resulted over time in the Peter-Weyl Theorem, the Pontryagin-van Kampen Duality Theorem for locally compact abelian groups, and finally the solution of Hilbert 5 and the structure theory of locally compact groups, through the combined work of Andrew Gleason, Kenkichi Iwasawa, Deane Montgomery, and Leon Zippin. For a presentation of Hilbert 5 see the 2014 book "Hilbert's Fifth Problem and Related Topics" by the winner of a 2006 Fields Medal and 2014 Breakthrough Prize in Mathematics, Terence Tao.

It is not possible to describe briefly the richness of the topological group theory and the many directions taken since Hilbert 5. The 900 page reference book in 2013 "The Structure of Compact Groups" by Karl H. Hofmann and Sidney A. Morris, deals with one aspect of compact group theory. There are several books on profinite groups including those written by John S. Wilson (1998) and by Luis Ribes and Pavel Zalesskii (2012). The 2007 book "The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups" by Karl Hofmann and Sidney A. Morris, demonstrates how powerful Lie Theory is in exposing the structure of infinite-dimensional Lie groups.

The study of free topological groups initiated by A.A. Markov, M.I. Graev and S. Kakutani, has resulted in a wealth of interesting results, in particular those of A.V. Arkhangelʹskiĭ and many of his former students who developed this topic and its relations with topology. The book "Topological Groups and Related Structures" by Alexander Arkhangelʹskii and Mikhail Tkachenko has a diverse content including much material on free topological groups.

Compactness conditions in topological groups, especially pseudocompactness as exemplified in the many papers of W.W. Comfort, has been another direction which has proved very fruitful to the present day.