Topics in Computational Algebra

هدف اصلی این سخنرانی ها ابتدا بررسی اجمالی ارتباط اساسی بین نظریه بازنمایی گروه متقارن Sn و نظریه توابع متقارن است و دوم اینکه نشان دهد چگونه روش های ترکیبی که به طور طبیعی در نظریه توابع متقارن به وجود می آیند منجر می شود. به الگوریتم‌های کارآمد برای بیان محصولات مختلف نمایش‌های Sn بر حسب مجموع نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر. یعنی یک ایزومتری اساسی وجود دارد که مرکز جبر گروهی Sn، Z(Sn) را به فضای توابع متقارن همگن درجه n، An ترسیم می کند. این ایزومتریک اولیه به عنوان نقشه فروبنیوس، F شناخته می شود. نقشه فروبنیوس به ما اجازه می دهد تا محاسبات مربوط به کاراکترهای گروه متقارن را به محاسباتی که شامل توابع Schur هستند کاهش دهیم. در حال حاضر یک نظریه بسیار غنی و زیبا از ترکیبیات توابع متقارن وجود دارد که در سال های اخیر توسعه یافته است. ترکیبیات توابع متقارن، سپس منجر به تعدادی الگوریتم بسیار کارآمد برای بسط محصولات مختلف توابع Schur به مجموع توابع Schur می شود. چنین بسط‌هایی از محصولات توابع Schur از طریق نقشه فروبنیوس با تجزیه محصولات مختلف نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر Sn به اجزای تقلیل‌ناپذیر آنها مطابقت دارد. علاوه بر این، توابع Schur همچنین کاراکترهای نمایش های چند جمله ای تقلیل ناپذیر گروه خطی عمومی بر روی اعداد مختلط GLn(C) هستند.

The main purpose of these lectures is first to briefly survey the fundamental con­ nection between the representation theory of the symmetric group Sn and the theory of symmetric functions and second to show how combinatorial methods that arise naturally in the theory of symmetric functions lead to efficient algorithms to express various prod­ ucts of representations of Sn in terms of sums of irreducible representations. That is, there is a basic isometry which maps the center of the group algebra of Sn, Z(Sn), to the space of homogeneous symmetric functions of degree n, An. This basic isometry is known as the Frobenius map, F. The Frobenius map allows us to reduce calculations involving characters of the symmetric group to calculations involving Schur functions. Now there is a very rich and beautiful theory of the combinatorics of symmetric functions that has been developed in recent years. The combinatorics of symmetric functions, then leads to a number of very efficient algorithms for expanding various products of Schur functions into a sum of Schur functions. Such expansions of products of Schur functions correspond via the Frobenius map to decomposing various products of irreducible representations of Sn into their irreducible components. In addition, the Schur functions are also the characters of the irreducible polynomial representations of the general linear group over the complex numbers GLn(C).