Topics in Classical Algebraic Geometry - I

The polar pairing......Page 9
The first polars......Page 12
The second polars......Page 13
The Hessian hypersurface......Page 14
Parabolic points......Page 17
The Steinerian hypersurface......Page 20
The polar map......Page 22
Dual varieties......Page 23
The Plücker equations......Page 26
Apolar schemes......Page 28
Sums of powers......Page 30
Generalized polar polyhedra......Page 31
Secant varieties......Page 32
The Waring problems......Page 34
Catalecticant matrices......Page 35
Dual homogeneous forms......Page 38
The Waring rank of a homogeneous form......Page 39
Mukai's skew-symmetric form......Page 41
Binary forms......Page 43
Quadrics......Page 44
Exercises......Page 46
Historical Notes......Page 48
The Veronese quartic surface......Page 49
Polar lines......Page 50
The variety of self-polar triangles......Page 51
Conjugate triangles......Page 54
Darboux's theorem......Page 55
Poncelet curves......Page 60
Invariants of pairs of conics......Page 62
The Salmon conic......Page 66
Exercises......Page 68
Historical Notes......Page 71
Weierstrass equation......Page 73
The Hesse equation......Page 74
The Hesse pencil......Page 76
The Hesse group......Page 77
The Hessian of a cubic hypersurface......Page 80
The Hessian of a plane cubic......Page 81
The dual curve......Page 84
Polar polygons......Page 85
Exercises......Page 90
Historical Notes......Page 93
The problem......Page 95
Plane curves......Page 96
The symmetric case......Page 100
Examples......Page 104
Quadratic Cremona transformations......Page 106
A moduli space......Page 109
Cohen-Macauley sheaves......Page 110
Determinants with linear entries......Page 112
The case of curves......Page 114
The case of surfaces......Page 115
Exercises......Page 118
Historical Notes......Page 119
First definitions and examples......Page 121
Quadratic forms over a field of characteristic 2......Page 122
Equations of hyperelliptic curves......Page 125
2-torsion points on a hyperelliptic curve......Page 126
Theta characteristics on a hyperelliptic curve......Page 127
Families of curves with odd or even theta characteristic......Page 128
Jacobian variety......Page 130
Theta functions......Page 132
Hyperelliptic curves again......Page 133
Syzygetic triads......Page 136
Steiner complexes......Page 138
Fundamental sets......Page 141
Correspondences on an algebraic curve......Page 144
Scorza correspondence......Page 146
Scorza quartic hypersurfaces......Page 148
Theta functions and bitangents......Page 150
Exercises......Page 153
Historical Notes......Page 154
28 bitangents......Page 155
Aronhold sets......Page 157
Riemann's equations for bitangents......Page 159
Hesse-Coble-Roth construction......Page 163
Symmetric quadratic determinants......Page 166
Contact cubics......Page 170
Cayley octads......Page 171
Seven points in the plane......Page 174
Clebsch and Lüroth quartics......Page 176
The Scorza quartic......Page 180
Polar hexagons......Page 182
A Fano model of VSP(f;6)......Page 184
Automorphisms of finite order......Page 185
Automorphism groups......Page 188
The Klein quartic......Page 191
Exercises......Page 194
Historical Notes......Page 196
Cremona transformations......Page 199
Exceptional configurations......Page 200
The bubble space......Page 203
De Jonquières transformations......Page 207
Hyperelliptic curves......Page 209
Segre-Hirzebruch minimal ruled surfaces......Page 212
Elementary transformations......Page 215
Birational automorphisms of P1P1......Page 217
De Jonquières transformations again......Page 219
Characteristic matrices......Page 220
Composition of characteristic matrices......Page 225
The Weyl groups......Page 227
Noether's inequality......Page 228
Noether-Fano inequality......Page 229
Noether's Theorem......Page 231
Exercises......Page 233
Varieties of minimal degree......Page 237
A blow-up model......Page 238
(-2)-curves......Page 240
Cremona isometries......Page 242
Lines on Del Pezzo surfaces......Page 246
Anti-canonical models......Page 251
Surfaces of degree d in Pd......Page 255
Quartic Del Pezzo surfaces......Page 258
Exercises......Page 262
Lattices......Page 263
The E6-lattice......Page 265
Roots......Page 266
Exceptional vectors......Page 267
Sixers......Page 268
Steiner triads of double-sixes......Page 272
Tritangent trios......Page 274
Lines on a nonsingular cubic surface......Page 276
Schur's quadrics......Page 278
Non-normal cubic surfaces......Page 282
Normal cubic surfaces......Page 283
Canonical singularities......Page 284
The Table......Page 289
Cayley-Salmon equation......Page 290
Hilbert-Burch Theorem......Page 293
The cubo-cubic Cremona transformation......Page 297
Cubic symmetroids......Page 298
Sylvester's pentahedron......Page 302
The Hessian surface......Page 305
Cremona's hexahedral equations......Page 306
Exercises......Page 310
The Weyl representation......Page 313
Conjugacy classes of elements of finite order......Page 314
Automorphisms of Del Pezzo surfaces of degree 6 and 5......Page 316
Eckardt points......Page 318
Subgroups of W(E6).......Page 320
Automorphisms of finite order......Page 323
Automorphisms groups......Page 330
Automorphisms of Del Pezzo surfaces of degree 1......Page 336
Grassmanians of lines......Page 345
The tangent and the secant varieties......Page 347
The incidence variety......Page 348
Schubert varieties......Page 353
Linear complexes of lines......Page 357
Linear complexes and apolarity......Page 358
6 lines......Page 361
Linear systems of linear complexes......Page 365
Generalities......Page 366
Intersection of 2 quadrics......Page 368
Kummer surface......Page 370
Generalities......Page 374
Ruled surfaces......Page 376