Topics in ĉ-adic Topologies

توپولوژی‌های m-adic و به ویژه مفاهیم حلقه m-کامل و m-کامل A حلقه جابجایی A اغلب در جبر جابجایی رخ می‌دهند و همچنین ابزار مفیدی در هندسه جبری هستند. هدف این کار گردآوری معیارهای مربوط به صعود (از A به A) و نزول (از A به A) چندین ویژگی حلقه های جابجایی مانند: یکپارچگی، منظم بودن، فاکتوری بودن، نرمال بودن و غیره است. به طور دقیق‌تر، می‌خواهیم نشان دهیم که بسیاری از معیارهای فوق، اگرچه اصلاً بی‌اهمیت نیستند، اما پیامدهای ابتدایی برخی مفاهیم اساسی جبر جابجایی و جبر محلی هستند. گاهی اوقات ما فقط می‌توانیم به نتایج جزئی دست یابیم که احتمالاً می‌توان با بررسی‌های عمیق‌تر آن را بهبود بخشید. هیچ نتیجه جدیدی در این کار گنجانده نشده است. تنها اصل آن انتخاب مواد و نحوه ارائه است. درک مهم ترین گزاره های موجود در این کتاب تنها به یک پیشینه بسیار ابتدایی در جبر، نظریه ایده آل و توپولوژی عمومی نیاز دارد. برای تأکید بر ویژگی ابتدایی درمان خود، چندین تعاریف شناخته شده و حتی گاهی اوقات شواهد اولین ویژگی هایی را که مستقیماً از آنها ناشی می شود، یادآوری کرده ایم. از سوی دیگر، ما در این کار نتایج مهمی مانند قضیه ساختار کوهن در حلقه‌های محلی کامل نوتر را درج نکردیم، زیرا نمی‌خواستیم خیلی از روح کتاب دور شویم.

The m-adic topologies and, in particular the notions of m-complete ring and m-completion A of a commutative ring A, occur frequently in commutative algebra and are also a useful tool in algebraic geometry. The aim of this work is to collect together some criteria concerning the ascent (from A to A) and the descent (from A to A) of several properties of commutative rings such as, for example: integrity, regularity, factoriality, normality, etc. More precisely, we want to show that many of the above criteria, although not trivial at all, are elementary consequences of some fundamental notions of commutative algebra and local algebra. Sometimes we are able to get only partial results, which probably can be improved by further deeper investigations. No new result has been included in this work. Its only origi­ nality is the choice of material and the mode of presentation. The comprehension of the most important statements included in this book needs only a very elementary background in algebra, ideal theory and general topology. In order to emphasize the elementary character of our treatment, we have recalled several well known definitions and, sometimes, even the proofs of the first properties which follow directly from them. On the other hand, we did not insert in this work some important results, such as the Cohen structure theorem on complete noetherian local rings, as we did not want to get away too much from the spirit of the book.