Time-Fractional Differential Equations: A Theoretical Introduction

هدف این کتاب ایجاد پایه ای برای مشتقات کسری و معادلات دیفرانسیل کسری است. تئوری مشتقات کسری امکان در نظر گرفتن هر ترتیب مثبت تمایز را فراهم می کند. تاریخچه تحقیقات در این زمینه بسیار طولانی است و ریشه آن به لایب نیتس باز می گردد. از آن زمان، بسیاری از ریاضیدانان بزرگ، مانند آبل، مشارکت هایی داشته اند که نه تنها جنبه های نظری، بلکه کاربردهای فیزیکی حساب کسری را نیز پوشش می دهند.

معادلات دیفرانسیل جزئی کسری بر پدیده ها بسته به متغیرهای مکانی و زمانی حاکم است و نیاز به درمان های ظریف تری دارد. علاوه بر این، معادلات دیفرانسیل جزئی کسری معادلات مدل بسیار مورد تقاضا برای حل مسائل دنیای واقعی مانند انتشار غیرعادی در محیط های ناهمگن هستند.

مطالعات معادلات دیفرانسیل جزئی کسری به طور انفجاری گسترش یافته است. با این حال مشاهده می کنیم که نظریه ریاضی موجود برای معادلات دیفرانسیل جزئی کسری هنوز کامل نیست. به طور خاص، رویکردهای نظری عملگر برای برخی از دسته‌های تعمیم‌یافته راه‌حل‌ها مانند راه‌حل‌های ضعیف ضروری هستند، اما مبانی نظری عملگر عملی برای کاربردهای گسترده در تک نگاری‌ها موجود نیست.

برای اینکه این تک‌نگاره بیشتر شود. قابل خواندن است، ما آن را به چند نوع اساسی از معادلات دیفرانسیل جزئی کسری زمان محدود می کنیم و از بسیاری موضوعات مهم و هیجان انگیز دیگر مانند پایداری برای مسائل غیرخطی صرف نظر می کنیم. با این حال، ما معتقدیم که این کتاب به خوبی به عنوان مقدمه ای برای تحقیقات ریاضی در چنین زمینه های گسترده ای عمل می کند. rule=\"\" phenomena=\"\" بستگی=\"\" both=\"\" on=\"\" spatial=\"\" and=\"\" time=\"\" variables= \"\" need=\"\" more=\"\" subtle=\"\" treatments. \"\" model=\"\" for=\"\" solving=\"\" real-world=\"\" Problems=\"\" such=\"\" as=\"\" the= \"\" anomalous=\"\" diffusion=\"\" in=\"\" heterogeneous=\"\" media.

This book aims to establish a foundation for fractional derivatives and fractional differential equations. The theory of fractional derivatives enables considering any positive order of differentiation. The history of research in this field is very long, with its origins dating back to Leibniz. Since then, many great mathematicians, such as Abel, have made contributions that cover not only theoretical aspects but also physical applications of fractional calculus.

The fractional partial differential equations govern phenomena depending both on spatial and time variables and require more subtle treatments. Moreover, fractional partial differential equations are highly demanded model equations for solving real-world problems such as the anomalous diffusion in heterogeneous media.

The studies of fractional partial differential equations have continued to expand explosively. However we observe that available mathematical theory for fractional partial differential equations is not still complete. In particular, operator-theoretical approaches are indispensable for some generalized categories of solutions such as weak solutions, but feasible operator-theoretic foundations for wide applications are not available in monographs.

To make this monograph more readable, we are restricting it to a few fundamental types of time-fractional partial differential equations, forgoing many other important and exciting topics such as stability for nonlinear problems. However, we believe that this book works well as an introduction to mathematical research in such vast fields.