Theory of Symmetric Lattices

اهمیت محوری در این کتاب مفهوم مدولار بودن در شبکه ها است. به شبکه ای مدولار گفته می شود که هر جفت از عناصر آن یک جفت مدولار باشد. خواص شبکه های مدولار توسط ریاضیدانان متعددی از جمله 1. فون نویمان که مطالعه مهم هندسه پیوسته را معرفی کرد، به دقت بررسی شده است. هندسه پیوسته تعمیم هندسه تصویری است. دومی دارای ابعاد اتمی و گسسته است در حالی که اولی ممکن است شامل یک بخش بعدی پیوسته باشد. در همین حال شبکه های غیر مدولار زیادی وجود دارد. در این میان چند شبکه وجود دارد که در آنها مدولاریت متقارن است، یعنی اگر یک جفت (a,b) مدولار باشد پس (b,a) نیز چنین است. گفته می‌شود که این شبکه‌ها متریک M-sym هستند و مطالعه آن‌ها توسعه‌ای از نظریه شبکه‌های مدولار را تشکیل می‌دهد. یک مثال مهم از یک شبکه متقارن M از هندسه افین ناشی می شود. در اینجا شبکه مجموعه های آفین به صورت پیوسته بالایی، اتمیستی و دارای خاصیت پوششی است. چنین شبکه ای که شبکه ماتروئید نامیده می شود را می توان M متقارن نشان داد. ما یک تئوری عمیق از موازی سازی در یک شبکه ماتروئیدی افین داریم، یک نوع خاص از شبکه ماتروئید. علاوه بر این، می‌توانیم نشان دهیم که این شبکه یک پسوند مدولار دارد.

Of central importance in this book is the concept of modularity in lattices. A lattice is said to be modular if every pair of its elements is a modular pair. The properties of modular lattices have been carefully investigated by numerous mathematicians, including 1. von Neumann who introduced the important study of continuous geometry. Continu­ ous geometry is a generalization of projective geometry; the latter is atomistic and discrete dimensional while the former may include a continuous dimensional part. Meanwhile there are many non-modular lattices. Among these there exist some lattices wherein modularity is symmetric, that is, if a pair (a,b) is modular then so is (b,a). These lattices are said to be M-sym­ metric, and their study forms an extension of the theory of modular lattices. An important example of an M-symmetric lattice arises from affine geometry. Here the lattice of affine sets is upper continuous, atomistic, and has the covering property. Such a lattice, called a matroid lattice, can be shown to be M-symmetric. We have a deep theory of parallelism in an affine matroid lattice, a special kind of matroid lattice. Further­ more we can show that this lattice has a modular extension.