Theory of hypergeometric functions

این کتاب یک نظریه هندسی از انتگرال های تحلیلی پیچیده ارائه می دهد که توابع ابر هندسی چندین متغیر را نشان می دهد. با شروع از یک انتگرال که حاصل ضرب توان های چندجمله ای است، انتگرال ها در یک فضای قرابت باز، به عنوان یک جفت همومولوژی د رام پیچ خورده و دوگانه آن بر روی ضرایب سیستم محلی توضیح داده می شوند. نشان داده شده است که انتگرال های فراهندسی به طور کلی یک سیستم هولونومیک معادلات دیفرانسیل خطی را با توجه به ضرایب چند جمله ای ها و همچنین یک سیستم هولونومیک معادلات اختلاف خطی را با توجه به توان ها برآورده می کند. این‌ها از یک سو از هم‌شناسی منطقی د رام گروتندیک-دلگن و از سوی دیگر با بسط چند بعدی نظریه کلاسیک بیرخوف بر روی معادلات تفاوت تحلیلی استنتاج می‌شوند.

This book presents a geometric theory of complex analytic integrals representing hypergeometric functions of several variables. Starting from an integrand which is a product of powers of polynomials, integrals are explained, in an open affine space, as a pair of twisted de Rham cohomology and its dual over the coefficients of local system. It is shown that hypergeometric integrals generally satisfy a holonomic system of linear differential equations with respect to the coefficients of polynomials and also satisfy a holonomic system of linear difference equations with respect to the exponents. These are deduced from Grothendieck-Deligne’s rational de Rham cohomology on the one hand, and by multidimensional extension of Birkhoff’s classical theory on analytic difference equations on the other.