Theory and Applications of Abstract Semilinear Cauchy Problems

چندین نوع معادله دیفرانسیل، مانند معادله دیفرانسیل تابعی، مدل های ساختار سن، معادلات انتقال، معادلات واکنش- انتشار، و معادلات دیفرانسیل جزئی با تاخیر، می توانند به عنوان مسائل کوشی انتزاعی با دامنه غیر متراکم فرموله شوند. این تک نگاری ارائه ای مستقل و جامع از نظریه بنیادی مسائل نیمه خطی کوشی غیر متراکم و کاربردهای آنها ارائه می دهد. با شروع از قضیه کلاسیک Hille-Yosida، روش نیمه گروهی و نظریه طیفی، این تک نگاری به معرفی مسائل کوشی انتزاعی با دامنه غیر متراکم، نیمه گروه های یکپارچه، وجود راه حل های یکپارچه، مثبت بودن راه حل ها، اغتشاش لیپشیتز، تمایز پذیری راه حل ها می پردازد. به متغیر حالت، و تمایز زمانی راه حل ها. با ترکیب روش تحلیل تابعی و رویکرد دوشاخه‌سازی در سیستم‌های دینامیکی، دینامیک غیرخطی مانند پایداری تعادل، نظریه منیفولد مرکزی، انشعاب Hopf و نظریه فرم نرمال برای مسائل کوشی انتزاعی با دامنه غیر متراکم ایجاد می‌شود. در نهایت کاربردهایی برای معادلات دیفرانسیل تابعی، مدل‌های ساختار سنی و معادلات سهموی ارائه شده‌اند. این مونوگراف برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی و محققین در زمینه مسائل کوشی انتزاعی، سیستم های دینامیکی با ابعاد بی نهایت و کاربردهای آنها در مسائل بیولوژیکی، شیمیایی، پزشکی و فیزیکی بسیار ارزشمند خواهد بود.

Several types of differential equations, such as functional differential equation, age-structured models, transport equations, reaction-diffusion equations, and partial differential equations with delay, can be formulated as abstract Cauchy problems with non-dense domain. This monograph provides a self-contained and comprehensive presentation of the fundamental theory of non-densely defined semilinear Cauchy problems and their applications. Starting from the classical Hille-Yosida theorem, semigroup method, and spectral theory, this monograph introduces the abstract Cauchy problems with non-dense domain, integrated semigroups, the existence of integrated solutions, positivity of solutions, Lipschitz perturbation, differentiability of solutions with respect to the state variable, and time differentiability of solutions. Combining the functional analysis method and bifurcation approach in dynamical systems, then the nonlinear dynamics such as the stability of equilibria, center manifold theory, Hopf bifurcation, and normal form theory are established for abstract Cauchy problems with non-dense domain. Finally applications to functional differential equations, age-structured models, and parabolic equations are presented. This monograph will be very valuable for graduate students and researchers in the fields of abstract Cauchy problems, infinite dimensional dynamical systems, and their applications in biological, chemical, medical, and physical problems.