The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra

علیرغم برخی کاربردهای اخیر فرامحصولات در جبر، آنها تا حد زیادی برای جبرگرایان جابه‌جایی ناشناخته باقی می‌مانند، تا حدی به این دلیل که ویژگی‌های اساسی مانند نوتر را حفظ نمی‌کنند. این اثر می‌خواهد در برابر این تعصبات یک ادعای قوی ایجاد کند. به‌طور دقیق‌تر، فرامحصولات حلقه‌های محلی نوتر را از منظر جبری صرف، و همچنین نحوه استفاده از آن‌ها برای انتقال نتایج بین ویژگی‌های مثبت و صفر، استخراج مرزهای یکنواخت، تعریف بسته شدن محکم در مشخصه صفر، و اثبات استفاده می‌کند. نسخه‌های مجانبی حدس‌های همسانی در ویژگی‌های مختلط. برخی از این نتایج با استفاده از انواعی به نام محصولات رنگی به دست می آیند که اغلب حتی نوترین هستند. این کتاب، نه با فرض و نه استفاده از فرمالیسم منطقی، برای جبر شناسان و هندسه شناسان در نظر گرفته شده است، به این امید که فرامحصولات و کاربردهای آنها در جبر رواج یابد.

In spite of some recent applications of ultraproducts in algebra, they remain largely unknown to commutative algebraists, in part because they do not preserve basic properties such as Noetherianity. This work wants to make a strong case against these prejudices. More precisely, it studies ultraproducts of Noetherian local rings from a purely algebraic perspective, as well as how they can be used to transfer results between the positive and zero characteristics, to derive uniform bounds, to define tight closure in characteristic zero, and to prove asymptotic versions of homological conjectures in mixed characteristic. Some of these results are obtained using variants called chromatic products, which are often even Noetherian. This book, neither assuming nor using any logical formalism, is intended for algebraists and geometers, in the hope of popularizing ultraproducts and their applications in algebra.