The Theory of Classes of Groups

یکی از ویژگی‌های جبر مدرن، توسعه ابزارها و مفاهیم جدید برای کاوش در کلاس‌های سیستم‌های جبری است، در حالی که تحقیقات بر روی سیستم‌های جبری منفرد (به عنوان مثال، گروه‌ها، حلقه‌ها، جبرهای دروغ و غیره) در راستای خطوط سنتی ادامه دارد. کار اولیه بر روی کلاس های سینه بند جبری به این موضوع مربوط می شد که نشان دهد یک کلاس X از سیستم های جبری در واقع در کلاس F دیگری وجود دارد. تحقیقات مدرن در مورد نظریه طبقات در دهه 1930 توسط کار بیرخوف [1] در مورد انواع کلی جبرها آغاز شد. ، و کار نیومن [1] در مورد انواع گروه ها. A. I. Mal'cev سهم اساسی در این توسعه مدرن داشت. در گزارش‌های [1، 3] او در سال‌های 1963 و 1966 در چهارمین کنفرانس ریاضیات سراسر اتحادیه و یک کنگره بین‌المللی ریاضیات، با توجه به پیشینه‌های کلاس‌های سیستم‌های جبری ارائه شد. اینها بعداً در کتاب او گنجانده شد [5]. علاقه بین‌المللی به تئوری تشکیل گروه‌های محدود برانگیخته شد و در این مدت به لطف کار Gaschiitz [8] در سال 1963 و کار Carter و Hawkes [1] در سال 1967 به سرعت داغ شد. سازندهای اشباع، کلاسهای فیتینگ و کلاسهای شونک در نظر گرفته شدند. دسته ای از گروه ها را تشکیل می نامند که نسبت به تصاویر هم شکل و محصولات فرعی بسته باشد. یک سازند اشباع نامیده می شود به شرطی که G E F هر زمان که Gjip(G) E F.

One of the characteristics of modern algebra is the development of new tools and concepts for exploring classes of algebraic systems, whereas the research on individual algebraic systems (e. g. , groups, rings, Lie algebras, etc. ) continues along traditional lines. The early work on classes of alge­ bras was concerned with showing that one class X of algebraic systems is actually contained in another class F. Modern research into the theory of classes was initiated in the 1930's by Birkhoff's work [1] on general varieties of algebras, and Neumann's work [1] on varieties of groups. A. I. Mal'cev made fundamental contributions to this modern development. ln his re­ ports [1, 3] of 1963 and 1966 to The Fourth All-Union Mathematics Con­ ference and to another international mathematics congress, striking the­ ories of classes of algebraic systems were presented. These were later included in his book [5]. International interest in the theory of formations of finite groups was aroused, and rapidly heated up, during this time, thanks to the work of Gaschiitz [8] in 1963, and the work of Carter and Hawkes [1] in 1967. The major topics considered were saturated formations, Fitting classes, and Schunck classes. A class of groups is called a formation if it is closed with respect to homomorphic images and subdirect products. A formation is called saturated provided that G E F whenever Gjip(G) E F.